主題
Search

三角學角

下載 Mathematica 筆記本下載 Wolfram 筆記本

角 mpi/n (其中 m,n 是整數) 的 三角函式 可以用實數的有限開方來表示，這些角僅限於 m 的值，而這些值恰好產生可作圖多邊形。可以使用 Wolfram 語言 函式獲得具有這種形式的自變數的三角函式的解析表示式ToRadicals，例如，ToRadicals[Sin[Pi/17]]，對於 n>=7 的值（對於 n<=6，三角函式在 Wolfram 語言 中自動求值）。

追溯到歐幾里得的圓規和直尺作圖能夠內接邊數為 3、4、5、6、8、10、12、16、20、24、32、40、48、64、... 的正多邊形。然而，高斯在 1796 年（當時他 19 歲）表明，n 邊正多邊形可作圖的充分條件是 n 是以下形式

n=2^kp_1p_2...p_s,
(1)

其中 k 是一個非負整數，而 p_i 是不同的費馬素數。這裡，費馬素數是費馬數，即形式為

F_n=2^(2^n)+1,
(2)

的素數，其中 n>=0 是一個整數，而這種形式的唯一已知素數是 3、5、17、257 和 65537。萬策爾 (Wantzel) (1836) 首次證明了這個條件也是必要的。

正 n 邊形可作圖的必要和充分條件是 phi(n) 是 2 的冪，其中 phi(n) 是尤拉函式（Krížek等人2001 年，第 34 頁）。

高斯 (Smith 1994) 給出了 n 對於 n<300 的可作圖值，前幾個是 1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96、102、120、128、136、160、170、192、... (OEIS A003401)。

cos(2pi/n) 對於可作圖多邊形的代數次數是 1、1、1、1、2、1、2、2、2、4、4、8、4、4、4、8、... (OEIS A113401)，而 cos(pi/n) 的代數次數是 ... (OEIS A113402)。

PolygonConstructionTri

Gardner (1977) 和 Watkins (Conway 和 Guy 1996，Krížek等人2001 年) 獨立地注意到，邊數為奇數的可作圖多邊形的邊數由謝爾賓斯基篩的前 32 行表示，解釋為二進位制數，給出 1、3、5、15、17、51、85、255、... (OEIS A004729，Conway 和 Guy 1996 年，第 140 頁)。換句話說，每一行都是不同費馬素數的乘積，項由二進位制計數給出。

下面給出了自變數為 pi/n 且 n 為小整數的正弦、餘弦和正切的解析值的部分表格。這些公式的推匯出現在以下條目中。

x ( degrees)x (弧度)sinxcosxtanx
0.00010
15.01/(12)pi1/4(sqrt(6)-sqrt(2))1/4(sqrt(6)+sqrt(2))2-sqrt(3)
18.01/(10)pi1/4(sqrt(5)-1)1/4sqrt(10+2sqrt(5))1/5sqrt(25-10sqrt(5))
22.51/8pi1/2sqrt(2-sqrt(2))1/2sqrt(2+sqrt(2))sqrt(2)-1
30.01/6pi1/21/2sqrt(3)1/3sqrt(3)
36.01/5pi1/4sqrt(10-2sqrt(5))1/4(1+sqrt(5))sqrt(5-2sqrt(5))
45.01/4pi1/2sqrt(2)1/2sqrt(2)1
60.01/3pi1/2sqrt(3)1/2sqrt(3)
90.01/2pi10infty
180.0pi0-10

有一個很好的助記符來記住常用角的正弦值，

sin(0 degrees)=1/2sqrt(0)
(3)
sin(30 degrees)=1/2sqrt(1)
(4)
sin(45 degrees)=1/2sqrt(2)
(5)
sin(60 degrees)=1/2sqrt(3)
(6)
sin(90 degrees)=1/2sqrt(4).
(7)

一般來說，對於 rpi 形式的自變數，任何三角函式都可以用根式表示，其中 r=m/n 是一個有理數，透過將指數形式的三角函式和指數寫成 -1 的根。例如，

cos(pi/(23))=-1/2(-1)^(22/23)[1+(-1)^(2/23)].
(8)

這證實了對於有理數 r，rpi 的三角函式始終是代數數。例如，n=7 和 n=9 的情況涉及三次方程（分別在 sin^2(pi/7) 和 sin^2(pi/9) 中）。可以使用 Wolfram 語言 使用以下語法獲得給定表示式為其根的多項式RootReduce[ToRadicals[expr]]，它產生一個Root物件。

設 (P(x))_n 表示多項式 P(x) 的第 n 個根，在 Wolfram 語言 的排序中Root物件，下表總結了 sin(pi/n) 的前幾個解析值。

nsin(pi/n)
10
21
31/2sqrt(3)
41/2sqrt(2)
5(16x^4-20x^2+5)_3
61/2
7(64x^6-112x^4+56x^2-7)_4
8(8x^4-8x^2+1)_3
9(64x^6-96x^4+36x^2-3)_4
101/4(sqrt(5)-1)

sin(pi/n) 的代數階數由下式解析地給出

ord(sin(pi/n))={1 if n=2; phi(n) if n=0,1,3 (mod 4); 1/2phi(n) otherwise,
(9)

其中 phi(n) 是尤拉函式。對於 n=1、2、...，這給出了序列 1、1、2、2、4、1、6、4、6、2、10、4、... (OEIS A055035)。

sin(2pi/p) 對於 p 為奇素數的最小多項式由下式給出

S_p(x)=sum_(k=0)^((p-1)/2)(-1)^k(p; 2k+1)(1-x^2)^((p-1)/2-k)x^(2k)
(10)

(Beslin 和 de Angelis 2004 年)。

如果 n!=4 且 n=2^rm，則 sin(2pi/n) 的代數階數由下式給出

ord(sin((2pi)/n))={phi(n) if r=0, 1; 1/4phi(n) if r=2; 1/2phi(n) if r>=3
(11)

(Ribenboim 1972 年，第 289 頁；Beslin 和 de Angelis 2004 年)。這給出了序列 1、1、2、1、4、2、6、2、6、4、10、1、... (OEIS A093819)。

下表總結了 cos(pi/n) 的前幾個解析值。

ncos(pi/n)
1-1
20
31/2
41/2sqrt(2)
51/4(1+sqrt(5))
61/2sqrt(3)
7(8x^3-4x^2-4x+1)_3
8(8x^4-8x^2+1)_4
9(8x^3-6x-1)_3
10(16x^4-20x^2+5)_4

cos(pi/n) 的代數階數由下式解析地給出

ord(cos(pi/n))={1 if n=1; phi(n) if n=0 (mod 2); 1/2phi(n) if n=1 (mod 2),
(12)

其中 phi 是尤拉函式。對於 n=1、2、...，這給出了序列 1、1、1、2、2、2、3、4、3、4、5、4、6、... (OEIS A055034；Lehmer 1933 年，Watkins 和 Zeitlin 1993 年，Surowski 和 McCombs 2003 年)。

cos(2pi/n) 的代數階數由下式解析地給出

ord(cos((2pi)/n))={1 if n=1 or 2; 1/2phi(n) if n>2
(13)

(Ribenboim 1972 年，第 289 頁；Beslin 和 de Angelis 2004 年) 給出了序列 1、1、1、1、2、1、3、2、3、2、5、... (OEIS A023022)。

對於 cos(2pi/p) 且 p 為奇素數，可以給出最小多項式的顯式公式，即

Psi(x)=sum_(i=0)^s(-1)^isigma_i(2x)^(s-i),
(14)

其中

s=1/2(p-1)
(15)
sigma_(2k)=(-1)^k(s-k; k)
(16)
sigma_(2k-1)=(-1)^k(s-k; k-1)
(17)

(Surowski 和 McCombs 2003 年；更正了 sigma_(2k-1) 定義中的符號)。Watkins 和 Zeitlin (1993 年) 表明

T_(s+1)(x)-T_s(x)=2^sproduct_(d|n)Psi(x)
(18)

對於奇數 n=2s+1，其中 T_n(x) 是第一類切比雪夫多項式，並且

T_(s+1)(x)-T_(s-1)(x)=2^sproduct_(d|n)Psi_d(x)
(19)

對於偶數 n=2s。

Beslin 和 de Angelis (2004 年) 給出了更簡單的形式

C_p(x)=S_p(sqrt((1-x)/2)),
(20)

其中 S_p(x) 如上定義。

正如已經指出的，如果 n 是 2 的冪乘以不同費馬素數的乘積，則可以獲得用實自變量表示的根式的特殊型別的展開式。對於 n 的其他值，情況變得更加複雜。現在不再可能以它們表示為實根式的形式表示三角函式，但仍然存在某種最小表示。最簡單的非平凡示例是 n=7。 “最小”的確切含義相當技術性，並且與某些分圓多項式的伽羅瓦子群有關（Weber 1996 年）。事實證明，對於素數 n，展開式特別有趣且困難，並且高階伽羅瓦群計算既困難又耗時。例如，n=23 是一個非常困難的案例，需要很長時間才能計算。一些較大的素數又變得容易一些，但複雜度平均而言隨著素數的大小而增長。

雖然單個三角函式可能需要在某些角度進行復雜的表示，但這些函式的乘積存在通用公式。例如，

product_(k=1)^(n)cos((kpi)/n)={0 if n=0 (mod 2); ((-1)^((n+1)/2))/(2^(n-1)) if n=1 (mod 2)
(21)
product_(k=1)^(n)sin((kpi)/n)=0
(22)
product_(k=1)^(|_n/2_|)cos((kpi)/n)={0 if n=0 (mod 2); 1/(2^((n-1)/2)) if n=1 (mod 2)
(23)
product_(k=1)^(|_n/2_|)sin((kpi)/n)=sqrt(n/(2^(n-1))).
(24)

因此，後者對於 n=1、2、... 的前幾個值分別為 1、1、3/4、1/2、5/16、3/16、... (OEIS A000265 和 A084623)。另一個例子是莫里定律的一般情況，

2^kproduct_(j=0)^(k-1)cos(2^ja)=(sin(2^ka))/(sina).
(25)

參見

257 邊形, 65537 邊形, 可作圖多邊形, 分圓理論, 費馬素數, 十七邊形, 莫里定律, 五邊形, 謝爾賓斯基篩, 三角學角--0, 三角學角 Pi, 三角學角--Pi/2, 三角學角--Pi/3, 三角學角--Pi/4, 三角學角--Pi/5, 三角學角--Pi/6, 三角學角--Pi/7, 三角學角--Pi/8, 三角學角--Pi/9, 三角學角--Pi/10, 三角學角--Pi/11, 三角學角--Pi/12, 三角學角--Pi/13, 三角學角--Pi/15, 三角學角--Pi/16, 三角學角--Pi/17, 三角學角--Pi/18, 三角學角--Pi/20, 三角學角--Pi/23, 三角學角--Pi/24, 三角學角--Pi/30, 三角學角--Pi/32, 單位圓

使用 探索

參考文獻

Bachmann, P. Die Lehre von der Kreistheilung. Leipzig, Germany: Teubner, 1872.Bauer, F. L. "Sternpolygone und Hyperwürfel." In Miscellanea Mathematica (Ed. P. Hilton, F. Hirzebruch, and R. Remmert). Berlin: Springer-Verlag, pp. 7-44, 1991.Beslin, S. and de Angelis, V. "The Minimal Polynomials of sin((2pi)/p) and cos((2pi)/p)." Math. Mag. 77, 146-149, 2004.Carrega, J. C. Théorie des corps. Paris: Hermann, 1989.Cigler, J. Körper, Ringe, Gleichungen. Heidelberg, Germany: Spektrum, 1995.Conway, J. H. and Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 1996.Dickson, L. E. Modern Algebraic Theories. Chicago: H. Sanborn, 1926.Dörrie, H. Quadratische Gleichungen. Munich: Oldenburg, 1943.Fricke, R. Lehrbuch der Algebra, 2 vols. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1926.Gardner, M. "Pascal's Triangle." Ch. 15 in Mathematical Carnival: A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage Books, pp. 194-207, 1977.Hobson, E. W. Squaring the Circle. New York: Chelsea, 1988.Jones, A.; Morris, S. A.; and Pearson, K. R. Abstract Algebra and Famous Impossibilities. New York: Springer-Verlag, 1991.Josephy, M. "An Afterthought of Gauss on Cyclotomy." In Proceedings of the 2nd Gauss Symposium. Conference A: Mathematics and Theoretical Physics. Held at Ludwig-Maximilians University, Munich, August 2-7, 1993 (Ed. M. Behara, R. Fritsch, and R. G. Lintz). Berlin: de Gruyter, pp. 147-150, 1995.Kommerell, K. Das Grenzgebiet der elementaren und hoeheren Mathematik. Leipzig, Germany: Koehler, 1936.Krížek, M.; Luca, F.; and Somer, L. 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. New York: Springer-Verlag, 2001.Lehmer, D. H. "A Note on Trigonometric Algebraic Numbers." Amer. Math. Monthly 40, 165-166, 1933.Mitzscherling, A. Das Problem der Kreisteilung. Leipzig, Germany: Teubner, 1913.Mora, T. Solving Polynomial Equation Systems, Vol. 1. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Netto, E. Vorlesungen über Algebra, Vols. 1-2. Leipzig, Germany: Teubner, 1896.Niven, I. M. Irrational Numbers. New York: Wiley, p. 39, 1956.Ribenboim, P. Algebraic Numbers. New York: Wiley, 1972.Sloane, N. J. A. Sequences A000265/M2222, A003401/M0505, A023022, A055034, A055035, A084623, A093819, A113401, and A113402 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, D. E. A Source Book in Mathematics. New York: Dover, 1994.Stewart, I. Galois Theory, 3rd ed. London: Chapman and Hall, London, 1972.Strommer, J. "Konstruktion des regulären 257-Ecks mit Lineal und Streckenübertrager." Acta Math. Hungar. 70, 259-292, 1996.Surowski, D. and McCombs, P. "Homogeneous Polynomials and the Minimal Polynomial ofcos(2pi/n)." Missouri J. Math. Sci. 15, 4-14, 2003.Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, 1965.Trott, M. "cos(2pi/257) à la Gauss." Mathematica Educ. Res. 4, 31-36, 1995.Trott, M. "cos(2pi/257) à la Gauss." §1.10.2 in The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, pp. 312-321, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Vélez, P. and Luis, O. "A Chord Approach for an Alternative Ruler and Compasses Construction of the 17-Side Regular Polygon." Geom. Dedicata 52, 209-213, 1994.Wantzel, M. L. "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas." J. Math. pures appliq. 1, 366-372, 1836.Watkins, W. and Zeitlin, J. "The Minimal Polynomial of cos(2pi/n)." Amer. Math. Monthly 100, 471-474, 1993.Weber, A. "Computing Radical Expressions for Roots of Unity." SIGSAM Bull. 30, 11-20, 1996.Wegner, K. W. "Equations with Trigonometric Values as Roots." Amer. Math. Monthly 66, 52-53, 1959.

在 中被引用

三角學角

請引用為

Weisstein, Eric W. "三角學角。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TrigonometryAngles.html

主題分類