三角學角度--Pi/13

對於 的三角函式，其中 是整數，不能用實有理數的和、積和有限開方來表示，因為 13 不是費馬素數。 這也意味著十三邊形不是可作圖多邊形。

然而，使用多倍角公式，仍然可以推匯出涉及複數根的精確表示式

(1)

其中 是第一類切比雪夫多項式。 代入 得到

(2)

令 和 則得到

(3)

但這是一個六次方程，具有迴圈伽羅瓦群，因此 ，以及因此 ，可以用根式（複數的根式）表示。 顯式表示式非常複雜，但可以使用 Wolfram 語言 生成，使用Developer`TrigToRadicals[Sin[Pi/13]].

對於 的三角函式，可以顯式地表示為多項式根

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從牛頓-吉拉德公式之一，

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對於 的三角函式，也服從以下恆等式

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（P. Rolli，私人通訊，2004 年 12 月 27 日）。