三角函式角 -- Pi/9

角為 弧度的三角函式，其中 是一個不能被 3 整除的整數（例如， 和 ），不能用有理數的加、減、乘、除和有限次開方運算來表示，因為 9 不是不同的費馬素數的乘積。 這也意味著正九邊形不是可作圖多邊形。

然而，仍然可以使用三角恆等式推匯出涉及複數根的精確表示式

(1)

設 且 。那麼上面的恆等式給出了三次方程

(2)

(3)

這個三次方程的形式為

(4)

其中

			(5)
			(6)

那麼，多項式判別式為

(7)

因此有三個不同的實根，近似值分別為 、0.3420 和 0.6428。 我們想要第一象限的那個，近似值為 0.3420。

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

類似地，

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因為韋達定理，我們有以下恆等式

(14)

(15)

(16)

(15) 被稱為莫里定律。

拉馬努金髮現了有趣的恆等式

(17)

(Borwein and Bailey 2003, p. 77; Trott 2004, p. 64)。