三角學角度 -- Pi/7

對於 為整數， 的三角函式不能用實有理數的和、積和有限次 開方 來表示，因為 7 不是 費馬素數。 這也意味著 七邊形 不是 可作圖多邊形。

然而，涉及複數根的精確表示式仍然可以推匯出來，可以使用三角恆等式

(1)

與 或透過用復指數表示 並簡化所得表示式來推導。 令 表示多項式 的 次根，使用 Wolfram 語言 的排序根函式給出了以下以代數根表示的三角函式，其自變數為 ，

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其自變數為 ，

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			(13)

及其自變數為 ，

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根和 Galois 最小表示式可以使用諸如以下 Wolfram 語言 程式碼獲得

  RootReduce[TrigToRadicals[Sin[Pi/7]]]
  Developer`TrigToRadicals[Sin[Pi/7]]

函式的組合滿足

			(20)
			(21)
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（Bankoff 和 Garfunkel 1973）。 和恆等式由下式給出

(23)

另一個有趣的恆等式由下式給出

(24)

（Borwein 和 Bailey 2003，第 77 頁）。