主題
Search

格拉漢姆的最大最小六邊形

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本
GrahamsBiggestLittleHexagon

格拉漢姆的最大最小六邊形是直徑為 1 的最大可能（不一定是正）凸六邊形（即，其中沒有兩個頂點之間的距離大於單位距離）。因此，它是 n=6 情況下的最大最小多邊形。解由上圖給出（在 Conway 和 Guy 1996 年，第 207 頁中以不正確的比例顯示），其中紅線均為單位長度的對角線。

GrahamsBiggestLittleHexagonArea

為了找到六邊形，按照上面所示設定座標，然後多邊形面積公式給出

A=1/2b+x(1+d-b).
(1)

代入並結合

1=b^2+x^2
(2)
1=(x+1/2)^2+d^2
(3)

並消除 b 和 d ，然後給出 A 的公式為

A(x)=1/2[sqrt(1-x^2)+x(2-2sqrt(1-x^2)+sqrt(3-4x(1+x)))].
(4)

此函式繪製在上方。

最大化得到六邊形的面積，它是以下方程的第二大實根

4096A^(10)+8192A^9-3008A^8-30848A^7+21056A^6+146496A^5 -221360A^4+1232A^3+144464A^2-78488A+11993=0,
(5)

近似為 A=0.674981... (OEIS A111969)。請注意，A^9 的符號為正，而不是像 Conway 和 Guy (1996) 中錯誤給出的負號。另請將其與直徑為 1（因此外接圓半徑為 1/2）的正六邊形的面積進行比較，後者由下式給出

A^'=3/8sqrt(3)=0.649519...,
(6)

因此，最優解大 3.9%。

對應於最大解的 x 和 b 的值由下式給出

x=(8192x^(10)+16384x^9-19968x^8-44032x^7+18176x^6+38528x^5-8192x^4-12672x^3+2520x^2+1440x-351)_5
(7)
=0.343771453...
(8)
b=(8192b^(10)-4096b^9-3584b^8+2048b^7-14080b^6+1920b^5+13568b^4+128b^3-3160b^2-720b-135)_5
(9)
=0.939053346...
(10)

(OEIS A111970 和 A111971)。

另請參閱

最大最小多邊形, 卡拉比三角形, 六邊形

使用 探索

參考文獻

Audet, C.; Hansen, P.; Messine, F.; 和 Xiong, J. “最大的小八邊形。” J. Combin. Th. Ser. A 98, 46-59, 2002.Audet, C.; Hansen, P.; Messine, F.; 和 Perron, S. “具有單位長度邊的最小直徑八邊形：Vincze 妻子的八邊形是次優的。” J. Combin. Th. Ser. A 108, 63-75, 2004.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. “格拉漢姆的最大最小六邊形。” 收錄於 數字之書。 紐約: Springer-Verlag, pp. 206-207, 1996.Graham, R. L. “最大的小六邊形。” J. Combin. Th. Ser. A 18, 165-170, 1975.Klein, A. 和 Wessler, M. “最大的小多面體。” 2002年12月19日. http://arxiv.org/abs/math.CO/0212262.Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A111969, A111970, 和 A111971.Trott, M. 符號學的 Mathematica 指南。 紐約: Springer-Verlag, pp. 46-47, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

請引用為

Weisstein, Eric W. “格拉漢姆的最大最小六邊形。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GrahamsBiggestLittleHexagon.html

主題分類