主題
Search

q-調和級數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

級數

h_q(-r)=sum_(n=1)^infty1/(q^n+r)
(1)

對於 q 一個非 0 和 +/-1 的 整數。h_q 以及相關的級數

Ln_q(-r+1)=sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(q^n+r),
(2)

它是 自然對數 2 的 q-模擬，對於 r 一個非 0 或 -q^n 的 有理數 來說是無理數 (Guy 1994)。事實上，Amdeberhan 和 Zeilberger (1998) 表明，無理數測度 h_q(1) 和 Ln_q(2) 均為 4.80，改進了 Borwein (1991, 1992) 暗示的值 54.0。

Amdeberhan 和 Zeilberger (1998) 還表明，q-調和級數和 q-模擬 ln2 可以寫成更快速收斂的形式

h_q(1)=sum_(n=1)^(infty)(q^n)/((1-q^n)(q)_n)
(3)
=sum_(n=1)^(infty)(1-q^n-q^(2n))/((q^n-1)(2n; n)_q(q)_n)
(4)
Ln_q(2)=sum_(n=1)^(infty)(q^n(q)_n)/((1-q^n)(q^2)_n)
(5)
=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)(q)_n(1-q^(3n)))/((1-q^n)^2(2n; n)_q(q^2)_n),
(6)

其中 (n; k)_q 是一個 q-二項式係數，(q)_n 是一個 q-波赫哈默爾符號。

另請參閱

調和級數, 無理數測度

使用 探索

參考文獻

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "q-Apéry Irrationality Proofs by q-WZ Pairs." Adv. Appl. Math. 20, 275-283, 1998.Borwein, P. B. "On the Irrationality of sum1/(q^n+r)." J. Number Th. 37, 253-259, 1991.Borwein, P. B. "On the Irrationality of Certain Series." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 112, 141-146, 1992.Breusch, R. "Solution to Problem 4518." Amer. Math. Monthly 61, 264-265, 1954.Erdős, P. "On Arithmetical Properties of Lambert Series." J. Indian Math. Soc. 12, 63-66, 1948.Erdős, P. "On the Irrationality of Certain Series: Problems and Results." In New Advances in Transcendence Theory (Ed. A. Baker). Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 102-109, 1988.Erdős, P. and Kac, M. "Problem 4518." Amer. Math. Monthly 60, 47, 1953.Guy, R. K. "Some Irrational Series." §B14 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York:Springer-Verlag, p. 69, 1994.

在 中被引用

q-調和級數

請引用為

Weisstein, Eric W. "q-調和級數。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/q-HarmonicSeries.html

主題分類