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Kempner級數

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d求和OEIS
023.10344A082839
116.17696A082830
219.25735A082831
320.56987A082832
421.32746A082833
521.83460A082834
622.20559A082835
722.49347A082836
822.72636A082837
922.92067A082838

Kempner級數 K_d 是透過從調和級數中移除所有包含單個數字 d 的項而獲得的級數。 令人驚訝的是，雖然調和級數發散，但所有 10 個 Kempner 級數都收斂。 例如，

K_1=1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/(20)+1/(22)+1/(23)+....

雖然它們很難計算，但上表總結了 Baillie (1979; Havil 2003, pp. 33-34) 計算出的近似值。

Schmelzer 和 Baillie (2008) 設計了一種改進的演算法，用於對更一般的 Kempner 級數求和，例如 sum_(n=1)^(infty)1/n 其中 n 的數字不包含字串 314。 此總和的近似值為 2299.829782...。 一般來說，當從求和的 k 中排除長度為 n 的特定字串時，sum_(k=1)^(infty)1/k 近似由 10^nln10 給出 (Baillie 和 Schmelzer 2008)。

另請參閱

調和級數

使用 探索

參考文獻

Baillie, R. "Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit." Amer. Math. Monthly 86, 372-374, 1979.Baillie, R. and Schmelzer, T. "Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series." May 20, 2008. http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/7166/.Havil, J. "The Kempner Series." §3.3 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 31-34, 2003.Schmelzer, T. and Baillie, R. "Summing Kempner's Curious, Slowly-Convergent Series." Amer. Math. Monthly 115, 525-540, 2008.Sloane, N. J. A. Sequences A082830, A082831, A082832, A082833, A082834, A082835, A082836, A082837, A082838, A082839 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wadhwa, A. D. "Some Convergent Subseries of the Harmonic Series." Amer. Math. Monthly 85, 661-663, 1978.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, rev. ed. Middlesex, England: Penguin Books, 1997.

在 中被引用

Kempner級數

引用為

Weisstein, Eric W. “Kempner 級數。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/KempnerSeries.html

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