三角形中心

三角形中心（有時簡稱為中心）是一個點，其三線座標根據三角形的邊長和角定義，並且可以為其定義三角形中心函式。給出座標的函式 稱為三角形中心函式。四個古代中心是三角形質心、內心、外心和垂心。

因此，三角形中心的三角形中心函式滿足齊次性

(1)

關於 和 的雙對稱性，

(2)

以及關於 、 和 的迴圈性，

(3)

（Kimberling 1998，第 46 頁）。

請注意，大多數但並非所有特殊的三角形點都符合三角形中心的條件。例如，雙心點不滿足雙對稱性，因此被排除在外。這種型別的點最常見的例子是第一和第二 Brocard 點，可以為其定義類似於三角形中心的函式，這些函式服從齊次性和迴圈性，但不服從雙對稱性。

另請注意，通常以縮寫形式 給出三角形中心函式，該形式沒有明確滿足雙對稱性，而是反對稱性，因此 。在這種情況下， 可以轉換為等效形式 ，透過定義 確實 滿足雙對稱性屬性

(4)

這種型別的一個例子是Kimberling 中心 ，它具有列表中的中心

(5)

這對應於真正的三角形中心函式

(6)

如果存在三角形中心函式 是 、 和 的多項式，則稱三角形中心是多項式 當且僅當 （Kimberling 1998，第 46 頁）。

類似地，如果存在三角形中心函式 是 、、 和 的多項式，其中 是三角形的面積），則稱三角形中心是正則 當且僅當。

如果三角形中心函式 僅是角 的函式，因此 和 分別僅是 和 的函式，則稱三角形中心為主要三角形中心。

C. Kimberling (1998) 廣泛地列出了三角形中心及其三線座標，併為每個中心分配了一個唯一的整數。在這項工作中，這些中心被稱為Kimberling 中心，第 箇中心表示為 ，下面總結了前幾個中心。

	中心	三角形中心函式
	內心	1
	三角形質心	, ,
	外心	,
	垂心
	九點中心	, ,
	外心對稱點	,
	Gergonne 點	,
	Nagel 點	,
	mittenpunkt	,
	Spieker 中心
	Feuerbach 點	,
	X_(11) 關於 關於 和 的調和共軛	, ,
	第一 Fermat 點	,
	第二 Fermat 點	,
	第一等力點	,
	第二等力點	,
	第一 Napoleon 點	,
	第二 Napoleon 點	,
	Clawson 點	, , ,
	de Longchamps 點

E. Brisse 編制了另一個包含 2001 個三角形中心的列表。