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精確三線座標

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三線座標 alpha:beta:gamma 相對於參考三角形的點 P 與三角形邊線的有向距離 a^':b^':c^' 成比例，但不確定到比例常數 k，即，

a^'=kalpha
(1)
b^'=kbeta
(2)
c^'=kgamma.
(3)

常數 k 由下式給出

k=(2Delta)/(aalpha+bbeta+cgamma),
(4)

其中 Delta=rs 是 DeltaABC 的三角形面積，r 是內切圓半徑，s 是半周長，a、b 和 c 是其邊長。

有向距離 a^'、b^'、c^' 本身被稱為“精確”（或“實際”）三線座標，並表示為 (a^',b^',c^')。因此，如果給出點 P 的三線座標 alpha:beta:gamma，則其精確三線座標 (a^',b^',c^') 可以根據下式計算

a^'=(2alphaDelta)/(aalpha+bbeta+cgamma)
(5)
b^'=(2betaDelta)/(aalpha+bbeta+cgamma)
(6)
c^'=(2gammaDelta)/(aalpha+bbeta+cgamma)
(7)

(Sommerville 1961, p. 157; Eddy and Fritsch 1994; Kimberling 1998, p. 28)。請注意，無窮遠線上的點沒有精確三線座標。

下表總結了一些三角形中心的精確三線座標，其中 R 是外接圓半徑，r 是內切圓半徑。

三角形中心精確三線座標
外心(1/2acotA,1/2bcotB,1/2ccotC), (RcosA,RcosB,RcosC), (((-a^2+b^2+c^2)R)/(2bc),((-b^2+c^2+a^2)R)/(2ac),((-c^2+a^2+b^2)R)/(2ab))
內心((abc)/(2(a+b+c)R),(abc)/(2(a+b+c)R),(abc)/(2(a+b+c)R)), (r,r,r)
九點圓圓心(1/2Rcos(B-C),1/2Rcos(C-A),1/2Rcos(A-B))
垂心(([a^4-(b^2-c^2)^2]R)/(2a^2bc),([b^4-(c^2-a^2)^2]R)/(2b^2ca),([c^4-(a^2-b^2)^2]R)/(2c^2ab)), (2RcosBcosC,2RcosCcosA,2RcosAcosB)
Spieker 中心(((b+c)bc)/(2(a+b+c)R),((a+c)ac)/(2(a+b+c)R),((a+b)ab)/(2(a+b+c)R)), (((b+c)r)/(2a),((c+a)r)/(2b),((a+b)r)/(2a))
外切點((a^2bc)/(2(a^2+b^2+c^2)R),(b^2ca)/(2(b^2+c^2+a^2)R),(c^2ab)/(2(c^2+a^2+b^2)R))
三角形質心((bc)/(6R),(ca)/(6R),(ab)/(6R))

參見

面積座標, 重心座標, 參考三角形, 三線座標

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參考文獻

Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Sommerville, D. M. Y. Analytical Conics, 3rd ed. London: G. Bell and Sons, 1961.

在 上引用

精確三線座標

請引用為

Weisstein, Eric W. "精確三線座標。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ExactTrilinearCoordinates.html

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