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西姆森線

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SimsonLine

西姆森線是包含從外接圓上任意點 P 到三角形的邊或其延長線的垂線的垂足 P_1, P_2, 和 P_3 的線。三角形。 這條線被 Poncelet 歸功於 Simson，但現在通常被稱為 Wallace-Simson 線，因為它實際上並未出現在 Simson 的任何著作中（Johnson 1929, p. 137; Coxeter 和 Greitzer 1967, p. 41; de Guzmán 1999）。 上述命題的逆命題，即 三角形 DeltaABC 平面上所有點 P 的軌跡，使得從三角形三邊到點的垂足共線，由 DeltaABC 的外接圓給出，有時被稱為 Wallace-Simson 定理 (de Guzmán 1999)。

對於位於外接圓上的點 p:q:r，即滿足

cpq+bpr+aqr=0,

西姆森線的三線方程為

(p(q+rcosA)(r+qcosA))/(sinA)alpha +(q(r+pcosB)(p+rcosB))/(sinB)beta +(r(p+qcosC)(q+pcosC))/(sinC)gamma=0

(P. Moses，私人通訊，1 月 27 日，2005 年)。

SimsonLineHP

西姆森線平分線段 HP，其中 H 是垂心 (Honsberger 1995, p. 46)。 此外，HP 的中點位於九點圓上 (Honsberger 1995, pp. 46-47)。 三角形外心上兩個對點的西姆森線互相垂直，並在九點圓上相交。

兩點 P 和 P^' 的西姆森線之間的角是弧 PP^' 的角的一半。 任何多邊形頂點的西姆森線是透過該多邊形頂點的高。 與多邊形頂點相對的點的西姆森線是對應的邊。 如果 T_1T_2T_3 是外接圓上的點 T 的西姆森線，則三角形 TT_1T_2 和 TA_2A_1 直接相似。

Simson line deltoid

三角形西姆森線的包絡線是三角尖瓣線 (Butchart 1939; Wells 1991, pp. 155 和 230)。 三角尖瓣線的面積是外接圓面積的一半 (Wells 1991, p. 230)，並且起始三角形的第一 Morley 三角形與三角尖瓣線具有相同的方向。 三角形的每條邊都與三角尖瓣線相切於一點，該點到邊中點的距離等於該邊截得的九點圓的弦 (Wells 1991, p. 231)。 如果線 L 是外接圓上的點 P 的西姆森線，則 P 稱為 L 的西姆森線極點 (Honsberger 1995, p. 128)。

參考三角形的高是西姆森線，其西姆森線極點是參考三角形的頂點。 此外，參考三角形的邊也是西姆森線，其西姆森線極點是參考三角形頂點關於其外心的反射。 另請注意，來自這些反射頂點的非平凡垂足與參考三角形的邊相交於Steiner 三角尖瓣線的切點。

另請參閱

外接圓, Rigby 點, 西姆森線極點, Steiner 三角尖瓣線

此條目部分內容由 Frank Jackson 貢獻

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參考文獻

Baker, H. F. An Introduction to Plane Geometry. London: Cambridge University Press, 1963.Butchart, J. H. "The Deltoid Regarded as the Envelope of Simson Lines." Amer. Math. Monthly 46, 85-86, 1939.Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 164, 1888.Chou, S.-C. "Proving Elementary Geometry Theorems Using Wu's Algorithm." Contemporary Math. 29, 243-286, 1984.Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 49, 1971.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Simson Lines" and "More on Simson Lines." §2.5 and 2.7 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 40-41 and 43-45, 1967.de Guzmán, M. "An Extension of the Wallace-Simson Theorem: Projecting in Arbitrary Directions." Amer. Math. Monthly 106, 574-580, 1999.Dörrie, H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, 1965.Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 46-48, 1928.F. Gabriel-Marie. Exercices de Géométrie. Tours, France: Maison Mame, p. 329, 1912.Gallatly, W. "The Simson Line." Ch. 4 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 24-36, 1913.Honsberger, R. "The Simson Line" and "Simson Lines." §5.2 and 8.4 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 43-44 and 82-83, 1995.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 137-139, 1929.Patterson, B. C. "The Triangle: Its Deltoids and Foliates." Amer. Math. Monthly 47, 11-18, 1940.Ramler, O. J. "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle." Amer. Math. Monthly 37, 130-136, 1930.van Horn, C. E. "The Simson Quartic of a Triangle." Amer. Math. Monthly 45, 434-437, 1938.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 155 and 230-231, 1991.

在 中引用

西姆森線

引用為

Jackson, Frank 和 Weisstein, Eric W. "Simson Line." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SimsonLine.html

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