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斯坦納外接橢圓

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斯坦納外接橢圓是外接橢圓，它是等角共軛的無窮遠線和等速共軛的勒穆瓦納軸。它具有外接圓錐曲線引數

x:y:z=1/a:1/b:1/c,
(1)

給出三線性方程

1/(aalpha)+1/(bbeta)+1/(cgamma)=0
(2)

(Vandeghen 1965; Kimberling 1998, p. 236)。斯坦納外接橢圓通常簡稱為“斯坦納橢圓”，但“外接橢圓”的稱謂有助於將其與不太重要的曲線（即斯坦納內切橢圓）區分開來。

SteinerEllipse

它是唯一透過三角形 DeltaABC 的頂點且以 G 的三角形質心 G 為中心的橢圓。斯坦納外接橢圓也是透過 A、B 和 C 的面積最小的橢圓 (Kimberling)。

斯坦納外接橢圓上任何點的塞瓦三角形的面積是 -2Delta，其中 Delta 是參考三角形的面積。

斯坦納外接橢圓的極三角形是反補三角形。

斯坦納外接橢圓的焦點被稱為比卡特點。斯坦納外接橢圓的半軸長度為

a=1/3sqrt(a^2+b^2+c^2+2Z)
(3)
b=1/3sqrt(a^2+b^2+c^2-2Z),
(4)

和焦距

c=2/3sqrt(Z),
(5)

其中

Z=sqrt(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2),
(6)

並且面積為

A=(4pi)/(3sqrt(3))Delta,
(7)

其中 Delta 是參考三角形的面積 (P. Moses, 私人通訊, 2004 年 12 月 31 日)。

主軸和短軸與斯坦納外接橢圓的交點由 alpha:beta:gamma 給出，其中 alpha^2、beta^2 和 gamma^2 由四次方程的根給出

186624a^8Z^4alpha^8+62208a^6(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)Z^4alpha^6+864a^4(a-b-c)^2(a+b-c)^2(a-b+c)^2(a+b+c)^2(5a^4-5b^2a^2-5c^2a^2+6b^4+6c^4-7b^2c^2)Z^2alpha^4+16a^2(a-b-c)^3(a+b-c)^3(a-b+c)^3(a+b+c)^3(7a^4-7b^2a^2-7c^2a^2+4b^4+4c^4-b^2c^2)Z^2alpha^2+(a-b)^2(a+b)^2(a-c)^2(a-b-c)^4(a+b-c)^4(a+c)^2(a-b+c)^4(a+b+c)^4
(8)
186624b^8Z^4beta^8+62208b^6(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)Z^4beta^6+864b^4(a-b-c)^2(a+b-c)^2(a-b+c)^2(a+b+c)^2(6a^4-5b^2a^2-7c^2a^2+5b^4+6c^4-5b^2c^2)Z^2beta^4+16b^2(a-b-c)^3(a+b-c)^3(a-b+c)^3(a+b+c)^3(4a^4-7b^2a^2-c^2a^2+7b^4+4c^4-7b^2c^2)Z^2beta^2+(a-b)^2(a+b)^2(a-b-c)^4(b-c)^2(a+b-c)^4(a-b+c)^4(b+c)^2(a+b+c)^4
(9)
186624c^8Z^4gamma^8+62208(a-b-c)(a+b-c)c^6(a-b+c)(a+b+c)Z^4gamma^6+864(a-b-c)^2(a+b-c)^2c^4(a-b+c)^2(a+b+c)^2(6a^4-7b^2a^2-5c^2a^2+6b^4+5c^4-5b^2c^2)Z^2gamma^4+16(a-b-c)^3(a+b-c)^3c^2(a-b+c)^3(a+b+c)^3(4a^4-b^2a^2-7c^2a^2+4b^4+7c^4-7b^2c^2)Z^2gamma^2+(a-c)^2(a-b-c)^4(b-c)^2(a+b-c)^4(a+c)^2(a-b+c)^4(b+c)^2(a+b+c)^4.
(10)

顯式地，與主軸的交點是

1/a[1+/-sqrt((2(Z-a^2)+(b^2+c^2))/Z)] :1/b[1∓sqrt((2(Z-b^2)+(a^2+c^2))/Z)] :1/c[1+/-sqrt((2(Z-c^2)+(a^2+b^2))/Z)]
(11)

與短軸的交點是

1/a[1+/-sqrt((2(Z+a^2)-(b^2+c^2))/Z)] :1/b[1∓sqrt((2(Z+b^2)-(a^2+c^2))/Z)] :1/c[1∓sqrt((2(Z+c^2)-(a^2+b^2))/Z)].
(12)

它透過 Kimberling 中心 X_i，其中 i=99 ( 斯坦納點 )、190 ( Yff 拋物線的 布里安松點 )、290、648、664、666、668、670、671、886、889、892、903、1121、1494、2479、2480、2481 和 2966。

斯坦納外接橢圓也與 DeltaABC 的外接圓共享斯坦納點 X_(99) 以及點 A、B 和 C (Kimberling 1998, p. 236; Kimberling)。

SteinerCircumellipseConway

橢圓的短軸可以構造為 ∠KGS 或 ∠OGT 的角平分線，其中 S 是斯坦納點，T 是塔裡點，O 是外心，K 是外切點 (Conway 2000)。這些軸平行於基珀特雙曲線的漸近線 (Conway 2000, Yiu 2003)。

SteinerCircumellipseMoses

另一個巧妙的構造是構造勒穆瓦納軸與帕裡圓的交點，然後注意到連線三角形質心 G 與交點即可得到軸 (P. Moses, 私人通訊, 2004 年 12 月 31 日)。

斯坦納外接橢圓與矩形外接雙曲線 ABCHP (對於 P=alpha:beta:gamma) 的第四個交點具有中心函式

alpha_P=1/(a[abetagamma-(balphabeta+calphagamma)cosA]),
(13)

它是外心和 P 的等角共軛的連線與勒穆瓦納軸的交點的等角共軛。下表總結了各種命名的矩形外接雙曲線的這些點 (P. Moses, 私人通訊, 2004 年 12 月 31 日)。

外接雙曲線Kimberling
費爾巴哈雙曲線X_(2481)
耶拉貝克雙曲線X_(290)
基珀特雙曲線X_(671)

另請參閱

比卡特點, 等角共軛, 無窮遠線, 斯坦納內切橢圓, 湯姆森圖形

使用 探索

參考文獻

Casey, J. 點、線、圓和圓錐曲線的解析幾何專著，包含其最新擴充套件的說明及大量示例，第二版修訂增補版 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 451-458, 1893.Conway, J. H. Message 1237. Hyacinthos mailing list. Aug. 18, 2000.Gallatly, W. 三角形的現代幾何學，第二版 London: Hodgson, p. 108, 1913.Kimberling, C. "三角形中心和中心三角形。" Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Kimberling, C. "斯坦納點。" http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/steiner.html.Vandeghen, A. "關於等角和塞瓦變換的一些評論。三角形的顯著點對齊。" Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.Yiu, P. "關於費馬線。" Forum Geom. 3, 73-81, 2003. http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200307index.html.

在 中被引用

斯坦納外接橢圓

請引用為

Weisstein, Eric W. "斯坦納外接橢圓。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/SteinerCircumellipse.html

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