Gröbner 基

Gröbner 基 對於 多項式 系統 是一個等價系統，它具有有用的性質，例如，另一個多項式 是 中多項式的組合 當且僅當 關於 的餘數為 0 時成立。（這裡，除法演算法需要 序 關係，該序關係是關於 單項式 的特定型別。）此外，Gröbner 基中的多項式集合與原始多項式具有相同的根集合。對於任意變數數量的線性函式，Gröbner 基等價於高斯消元法。

計算 Gröbner 基的演算法被稱為 布赫伯格演算法。對於大型多項式系統，計算 Gröbner 基通常是一個非常耗時的過程（Trott 2006，第 37 頁）。

Gröbner 基在符號代數演算法的構造中非常普遍，並且關於字典序的 Gröbner 基對於求解方程和消除變數非常有用。例如，以下 Wolfram 語言 命令透過從描述該系統的五個方程組中消除變數 、、 和 ，來求解邏輯斯蒂對映中引數 中週期-4 分岔的開始。

  Factor /@ GroebnerBasis[
    {
      x2 - r x1(1 - x1),
      x3 - r x2(1 - x2),
      x4 - r x3(1 - x3),
      x1 - r x4(1 - x4),
      r^4(1 - 2x1)(1 - 2x2)(1 - 2x3)(1 - 2x4) + 1
    },
    r,
    {x1, x2, x3, x4},
    MonomialOrder -> EliminationOrder
  ]

由於計算 Gröbner 基可能在計算上非常昂貴，因此有時可以透過手動計算連續方程對的結式，以迭代方式在每個步驟消除一個變數，從而更容易地從方程組中消除變數。

Gröbner 基的確定非常粗略地類似於從一組基 向量計算標準正交基，並且可以粗略地描述為高斯消元法（對於線性系統）和歐幾里得演算法（對於域上的單變數多項式）的組合。

計算 Gröbner 基所需的時間和記憶體很大程度上取決於變數排序、單項式排序以及哪些變數被視為常數。 Gröbner 基在 Wolfram 語言的許多例程中隱式使用，並且可以使用以下命令顯式呼叫GroebnerBasis[多項式1, 多項式2, ..., x1, x2, ...].

在計算 Gröbner 基以從方程組中消除三角函式的常見情況下，魏爾斯特拉斯替換

			(1)
			(2)

其中 可以（但並非總是）優先於使用 和 以及附加方程 ，因為它們減少了變數的數量（Trott 2006，第 39 頁）。

Buchberger 和 Zapletal 維護著關於 Gröbner 基的參考書目。

在電視劇《數字追兇》第四季的開篇劇集“信任度量”（2007 年）中，數學天才查理·艾普斯提到他曾使用 Gröbner 基試圖推匯出一個描述友誼的方程式。