主題
Search

埃爾米特-高斯求積

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

埃爾米特-高斯求積，也稱為埃爾米特求積，是在區間 (-infty,infty) 上，以權重函式 W(x)=e^(-x^2) 的高斯求積 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 890)。階數為 n 的求積的橫座標由埃爾米特多項式 H_n(x) 的根 x_i 給出，這些根關於 0 對稱分佈。權重為

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nH_n^'(x_i)H_(n+1)(x_i))
(1)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(H_(n-1)(x_i)H_n^'(x_i)),
(2)

其中 A_n 是 x^n 在 H_n(x) 中的 係數。對於 埃爾米特多項式，

A_n=2^n,
(3)

因此

(A_(n+1))/(A_n)=2.
(4)

此外，

gamma_n=sqrt(pi)2^nn!,
(5)

因此

w_i=-(2^(n+1)n!sqrt(pi))/(H_(n+1)(x_i)H_n^'(x_i))
(6)
=(2^n(n-1)!sqrt(pi))/(H_(n-1)(x_i)H_n^'(x_i))
(7)
=(2^(n+1)n!sqrt(pi))/([H_n^'(x_i)]^2)
(8)
=(2^(n+1)n!sqrt(pi))/([H_(n+1)(x_i)]^2)
(9)
=(2^(n-1)n!sqrt(pi))/(n^2[H_(n-1)(x_i)]^2),
(10)

其中 (8) 和 (9) 使用了 遞推關係

H_n^'(x)=2nH_(n-1)(x)=2xH_n(x)-H_(n+1)(x)
(11)

得到

H_n^'(x_i)=2nH_(n-1)(x_i)=-H_(n+1)(x_i),
(12)

並且 (10) 來自 Abramowitz 和 Stegun (1972 p. 890)。

誤差項為

E=(n!sqrt(pi))/(2^n(2n)!)f^((2n))(xi).
(13)

Beyer (1987) 給出了階數高達 n=12 的橫座標和權重的表格。

nx_iw_i
2+/-0.7071070.886227
301.18164
+/-1.224740.295409
4+/-0.5246480.804914
+/-1.650680.0813128
500.945309
+/-0.9585720.393619
+/-2.020180.0199532

對於較小的 n 值，橫座標和權重可以透過解析方法計算。

nx_iw_i
2+/-1/2sqrt(2)1/2sqrt(pi)
302/3sqrt(pi)
+/-1/2sqrt(6)1/6sqrt(pi)
4+/-sqrt((3-sqrt(6))/2)(sqrt(pi))/(4(3-sqrt(6)))
+/-sqrt((3+sqrt(6))/2)(sqrt(pi))/(4(3+sqrt(6)))

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 頁 890, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 頁 464, 1987.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, 頁 327-330, 1956.

在 中被引用

埃爾米特-高斯求積

請引用為

Weisstein, Eric W. "埃爾米特-高斯求積。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Hermite-GaussQuadrature.html

主題分類