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Lobatto 積分

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也稱為 Radau 積分 (Chandrasekhar 1960)。一種 高斯積分，其 權函式 W(x)=1，其中區間 [-1,1] 的端點包含在總共 n 個節點中，給出 r=n-2 個自由節點。節點關於原點對稱，通用公式是

int_(-1)^1f(x)dx=w_1f(-1)+w_nf(1)+sum_(i=2)^(n-1)w_if(x_i).
(1)

自由節點 x_i，對於 i=2, ..., n-1 是多項式 P_(n-1)^'(x) 的根，其中 P(x) 是勒讓德多項式。自由節點的權重是

w_i=-(2n)/((1-x_i^2)P_(n-1)^('')(x_i)P_m^'(x_i))
(2)
=2/(n(n-1)[P_(n-1)(x_i)]^2),
(3)

端點的權重是

w_(1,n)=2/(n(n-1)).
(4)

誤差項由下式給出

E=-(n(n-1)^32^(2n-1)[(n-2)!]^4)/((2n-1)[(2n-2)!]^3)f^((2n-2))(xi),
(5)

對於 xi in (-1,1)。Beyer (1987) 給出了引數表，最高到 n=11，Chandrasekhar (1960) 最高到 n=9（儘管 Chandrasekhar 對於 mu_(3,4)，m=5 是不正確的）。

nx_ix_iw_iw_i
300.000004/31.333333
+/-1+/-1.000001/30.333333
4+/-1/5sqrt(5)+/-0.4472145/60.833333
+/-1+/-1.0000001/60.166667
500.000000(32)/(45)0.711111
+/-1/7sqrt(21)+/-0.654654(49)/(90)0.544444
+/-1+/-1.0000001/(10)0.100000
6sqrt(1/(21)(7-2sqrt(7)))+/-0.2852321/(30)(14+sqrt(7))0.554858
sqrt(1/(21)(7+2sqrt(7)))+/-0.7650551/(30)(14-sqrt(7))0.378475
+/-1+/-1.0000001/(15)0.066667

另請參閱

切比雪夫積分, Radau 積分

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 888-890, 1972.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 465, 1987.Chandrasekhar, S. 輻射傳輸。 New York: Dover, pp. 63-64, 1960.Hildebrand, F. B. 數值分析導論。 New York: McGraw-Hill, pp. 343-345, 1956.Hunter, D. and Nikolov, G. "On the Error Term of Symmetric Gauss-Lobatto Quadrature Formulae for Analytic Functions." Math. Comput. 69, 269-282, 2000.Ueberhuber, C. W. 數值計算 2：方法、軟體和分析。 Berlin: Springer-Verlag, p. 105, 1997.

在 中被引用

Lobatto 積分

請引用為

Weisstein, Eric W. "Lobatto 積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LobattoQuadrature.html

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