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Radau 求積

一種類似於高斯求積的公式，用於數值估計積分。它需要 m+1 個點，並擬合所有次數為 2m 的多項式，因此它有效地精確擬合所有次數為 2m-1 的多項式。它使用權重函式 W(x)=1，其中區間 [-1,1] 中的端點 -1 包含在總共 n 個求積節點中，從而給出 r=n-1 個自由求積節點。通用公式為

int_(-1)^1f(x)dx=w_1f(-1)+sum_(i=2)^nw_if(x_i).
(1)

自由求積節點 x_i 對於 i=2, ..., n 是多項式的根

(P_(n-1)(x)+P_n(x))/(1+x),
(2)

其中 P(x) 是勒讓德多項式。

w_i=(1-x_i)/(n^2[P_(n-1)(x_i)]^2)
(3)
=1/((1-x_i)[P_(n-1)^'(x_i)]^2),
(4)

自由求積節點的權重為

w_1=2/(n^2).
(5)

以及端點的權重為

E=(2^(2n-1)n[(n-1)!]^4)/([(2n-1)!]^3)f^((2n-1))(xi),
(6)

誤差項由下式給出

nx_iw_i
2-10.5
0.3333331.5
3-10.222222
-0.2898981.02497
0.6898980.752806
4-10.125
-0.5753190.657689
0.1810660.776387
0.8228240.440924
5-10.08
-0.720480.446208
-0.1671810.623653
0.4463140.562712
0.8857920.287427

對於 xi in (-1,1)，求積節點和權重可以解析計算。

nx_iw_i
2-11/2
1/33/2
3-12/9
1/5(1-sqrt(6))1/(18)(16+sqrt(6))
1/5(1+sqrt(6))1/(18)(16-sqrt(6))

另請參閱

切比雪夫求積, 洛巴託求積

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (編). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. 紐約: Dover, 頁. 888, 1972.Chandrasekhar, S. Radiative Transfer. 紐約: Dover, 頁. 61, 1960.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. 紐約: McGraw-Hill, 頁. 338-343, 1956.Ueberhuber, C. W. Numerical Computation 2: Methods, Software, and Analysis. 柏林: Springer-Verlag, 頁. 105, 1997.

在 中被引用

Radau 求積

請引用為

Weisstein, Eric W. "Radau 求積." 來自 —— 資源. https://mathworld.tw/RadauQuadrature.html

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