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拉蓋爾-高斯求積

拉蓋爾-高斯求積，也稱為高斯-拉蓋爾求積或拉蓋爾求積，是在區間 [0,infty) 上使用 權重函式 W(x)=e^(-x) 的高斯求積（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 890 頁）。它精確擬合所有次數為 2m-1 的多項式（Chandrasekhar 1960，第 61 頁）。

求積階數為 n 的求積節點的橫座標由拉蓋爾多項式 L_n(x) 的根給出。權重為

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nL_n^'(x_i)L_(n+1)(x_i))
(1)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(L_(n-1)(x_i)L_n^'(x_i)),
(2)

其中 A_n 是 拉蓋爾多項式 L_n(x) 中 x^n 的係數。對於 拉蓋爾多項式，

A_n=((-1)^n)/(n!),
(3)

其中 n! 是一個 階乘，因此

(A_(n+1))/(A_n)=-1/(n+1)
(4)
(A_n)/(A_(n-1))=-1/n.
(5)

此外，

gamma_n=int_0^inftyW(x)[L_n(x)]^2dx=1,
(6)

因此

w_i=1/((n+1)L_n^'(x_i)L_(n+1)(x_i))
(7)
=-1/(nL_(n-1)(x_i)L_n^'(x_i)).
(8)

使用遞推關係

xL_n^'(x)=nL_n(x)-nL_(n-1)(x)
(9)
=(x-n-1)L_n(x)+(n+1)L_(n+1)(x)
(10)

由於 x_i 是 L_n(x) 的根，因此得到

nL_n(x)=(x-n-1)L_n(x)=0,
(11)

因此 (10) 變為

x_iL_n^'(x_i)=-nL_(n-1)(x_i)=(n+1)L_(n+1)(x_i)
(12)

給出

w_i=1/(x_i[L_n^'(x_i)]^2)
(13)
=(x_i)/((n+1)^2[L_(n+1)(x_i)]^2).
(14)

誤差項是

E=((n!)^2)/((2n)!)f^((2n))(xi)
(15)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 890 頁）。

Beyer (1987) 給出了高達 n=6 的求積節點和權重的表格。

nx_iw_i
20.5857860.853553
3.414210.146447
30.4157750.711093
2.294280.278518
6.289950.0103893
40.3225480.603154
1.745760.357419
4.536620.0388879
9.395070.000539295
50.263560.521756
1.41340.398667
3.596430.0759424
7.085810.00361176
12.64080.00002337

對於小的 n，求積節點和權重可以透過解析方法計算。

nx_iw_i
22-sqrt(2)1/4(2+sqrt(2))
2+sqrt(2)1/4(2-sqrt(2))

對於廣義拉蓋爾多項式 L_n^beta(x) 以及權重函式 w(x)=x^betae^(-x)，

A_n=((-1)^n)/(n!)
(16)

是 L_n^beta(x) 中 x^n 的係數，並且

gamma_n=int_0^inftyx^betae^(-x)[L_n^beta(x)]^2dx
(17)
=(Gamma(n+beta+1))/(n!),
(18)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式。權重然後是

w_i=(Gamma(n+beta)x_i)/(n!(n+beta)[L_(n-1)^beta(x_i)]^2)
(19)
=(Gamma(n+beta+1)x_i)/(n!(n+1)^2[L_(n+1)^beta(x_i)]^2),
(20)

誤差項是

E_n=(n!Gamma(n+beta+1))/((2n)!)f^((2n))(xi).
(21)

另請參閱

高斯求積

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 890 and 923, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 463, 1987.Chandrasekhar, S. Radiative Transfer. New York: Dover, pp. 61 and 64-65, 1960.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 325-327, 1956.

在 中引用

拉蓋爾-高斯求積

請引用為

Weisstein, Eric W. "拉蓋爾-高斯求積。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Laguerre-GaussQuadrature.html

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