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切比雪夫-高斯求積

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切比雪夫-高斯求積，也稱為切比雪夫求積，是區間 [-1,1] 上，權重函式 為 W(x)=(1-x^2)^(-1/2) 的 高斯求積 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 889)。求積階數 n 的 橫座標 由第一類 切比雪夫多項式 T_n(x) 的根給出，這些根關於 0 對稱出現。權重 為

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nT_n^'(x_i)T_(n+1)(x_i))
(1)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(T_(n-1)(x_i)T_n^'(x_i)),
(2)

其中 A_n 是 係數 x^n 在 T_n(x) 中的係數，

gamma_n=A_npi(x),
(3)

且 pi(x) 是階數為 n 的 拉格朗日插值多項式，用於 T_n(x)。

對於第一類切比雪夫多項式，

A_n=2^(n-1),
(4)

因此

(A_(n+1))/(A_n)=2.
(5)

此外，

gamma_n=1/2pi,
(6)

因此

w_i=-pi/(T_(n+1)(x_i)T_n^'(x_i)).
(7)

由於

T_n(x)=cos(ncos^(-1)x),
(8)

橫座標 由下式顯式給出

x_i=cos[((2i-1)pi)/(2n)].
(9)

由於

T_n^'(x_i)=((-1)^(i+1)n)/(sinalpha_i)
(10)
T_(n+1)(x_i)=(-1)^isinalpha_i,
(11)

其中

alpha_i=((2i-1)pi)/(2n),
(12)

所有的權重為

w_i=pi/n.
(13)

顯式公式為

int_(-1)^1(f(x)dx)/(sqrt(1-x^2))=pi/nsum_(k=1)^nf[cos((2k-1)/(2n)pi)]+(2pi)/(2^(2n)(2n)!)f^((2n))(xi).
(14)

以下兩個表給出了前幾個點和權重的數值和解析值。

nx_iw_i
2+/-0.7071071.5708
301.0472
+/-0.8660251.0472
4+/-0.3826830.785398
+/-0.923880.785398
500.628319
+/-0.5877850.628319
+/-0.9510570.628319
2+/-1/2sqrt(2)1/2pi
301/3pi
3+/-1/2sqrt(3)1/3pi
4+/-1/2sqrt(2-sqrt(2))1/4pi
4+/-1/2sqrt(2+sqrt(2))1/4pi
501/5pi
5+/-1/2sqrt(1/2(5-sqrt(5)))1/5pi
5+/-1/2sqrt(1/2(5+sqrt(5)))1/5pi

另請參閱

高斯求積

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯). 數學函式手冊：公式、圖表和數學表，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 889, 1972.Bronwin, B. "論從級數的特定值確定任何正弦和餘弦級數中變數角的倍數的係數。" Phil. Mag. 34, 260-268, 1849.Hildebrand, F. B. 數值分析導論。 New York: McGraw-Hill, pp. 330-331, 1956.Tchebicheff, P. "關於求積法。" J. de math. pures appliq. 19, 19-34, 1874.Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. "切比雪夫公式。" §79 在 觀測演算：數值數學專著，第 4 版。 New York: Dover, pp. 158-159, 1967.

在 中引用

切比雪夫-高斯求積

請引用為

Weisstein, Eric W. “切比雪夫-高斯求積。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Chebyshev-GaussQuadrature.html

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