形式積分

一個 微分k-形式 可以在一個 維 流形 上積分。最基本的例子是一個在 維 單位開球中的 -形式 。由於 是一個 頂維形式，它可以被寫作 ，因此

(1)

其中該積分是 勒貝格積分。

在一個被 座標圖 覆蓋的 流形 上，存在一個 單位分解 使得

1. 的 支集 在 中，並且

2. .

然後

(2)

其中右側是 良定義的，因為每次積分都在一個 座標圖 中進行。 -形式 的積分是 良定義的，因為在座標變換 下，積分根據 雅可比矩陣 的行列式進行變換，而一個 -形式透過 雅可比矩陣 的行列式拉回。因此，

(3)

在任一 座標圖 中，積分都是相同的。

例如，有可能在 球面 上積分 2-形式

(4)

由於一個點具有 零測度，在 上積分 就足夠了， 可以被 球極投影 覆蓋。 由於

(5)

拉回對映 是

(6)

在 上的積分是

(7)

請注意，透過 斯托克斯定理，這個計算可以更輕鬆地完成，因為 。