單位分解

給定一個光滑流形 和一個開覆蓋 ，服從覆蓋 的單位分解是一組光滑的、非負的函式 ，使得 的支撐集包含在 中，並且 處處成立。通常要求 具有緊閉包，可以解釋為有限的或有界的開集。在 是區域性有限覆蓋的情況下，任何點 僅有有限個 使得 。

單位分解可以用於將區域性定義的物件拼合在一起。例如，總是存在光滑的全域性向量場，可能在某些地方消失，但不是恆等於零。用座標圖 覆蓋 ，使得任何點只被有限個座標圖重疊覆蓋。在每個座標圖 上，存在區域性向量場 。將它們標記為 ，並且對於每個圖，選擇向量場 。那麼 是一個全域性向量場。這個求和是收斂的，因為在任何 處，只有有限個 。

其他應用需要將物件解釋為函式，或者稱為叢截面的函式推廣，例如黎曼度量。透過將這樣的度量視為叢的截面，很容易證明在任何光滑流形上都存在光滑度量。證明使用了單位分解，並且與上面使用的證明類似。

嚴格來說，求和 不必恆等於 1 才能使論證成立。之所以得名，是因為在每個點，這些函式都對值 1 進行分割。此外，從凸性的角度來看，這也很方便。