L^2-空間

在 測度空間 上，平方可積 L2-函式 的集合是一個 -空間。與關於 L^2 內積 和 測度 一起考慮，

(1)

-空間構成一個 希爾伯特空間。 -空間中的函式滿足

(2)

和

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(4)

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(6)

(7)

不等式 (7) 稱為施瓦茨不等式。

基本例子是當 且具有 勒貝格測度 時。另一個重要的例子是當 是正整數時，在這種情況下，它表示為 ，或 “little ell-two”。這些是平方可和級數。

嚴格來說，-空間實際上由函式的等價類組成。如果它們不同的集合的測度為零，則兩個函式表示相同的 -函式。不難看出，這使得 成為內積，因為 當且僅當 幾乎處處成立。思考 -函式的一個好方法是將其視為密度函式，因此只有它在正測度集上的積分才重要。

在實踐中，這不會造成太多麻煩，除非在微分方程中的邊界條件需要格外小心。問題在於，對於任何特定點 ， 的值對於 -函式 不是明確定義的。

如果 -函式在歐幾里得空間中可以由連續函式 表示，則 是唯一的連續代表。在這種情況下，將 -函式視為連續函式 是無害的。此外，通常方便地將 視為連續函式關於 L^2 範數的完備化。