完備化

一個 度量空間 如果不是完備的，則擁有一個不 收斂 的 柯西序列。 的完備化是透過向柯西序列新增極限而獲得的。

例如，有理數在距離度量下是不完備的，因為存在不收斂的 柯西序列，例如，1, 1.4, 1.41, 1.414, ... 不收斂，因為 不是有理數。有理數的完備化是實數。請注意，完備化取決於度量。例如，對於任何素數 ，有理數都有一個由 p-adic 範數給出的度量，那麼有理數的完備化是 p-adic 數的集合。完備化的另一個常見例子是 L2 函式空間。

從技術上講， 的完備化是 柯西序列的集合，而 以等距的方式作為常數序列包含在這個集合中。