一個具有 T2 空間拓撲的向量空間，使得向量加法和標量乘法運算是連續的。有趣的例子是無限維空間，例如函式空間。例如，希爾伯特空間和巴拿赫空間都是拓撲向量空間。
拓撲的選擇反映了函式收斂的含義。例如，對於積分收斂的函式，使用巴拿赫空間 
，它是 L-p 空間之一。但是，如果對逐點收斂感興趣，則任何範數都不足以滿足。相反，對於每個 
，定義半範數
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在定義於 
上的函式向量空間上。這些半範數定義了一個拓撲，即半範數連續的最小拓撲。因此，
等價於對所有 
，
，即逐點收斂。類似地，可以定義一個拓撲，使得“收斂”意味著在緊集上一致收斂。
