Vassiliev 不變數

Vassiliev 不變數，大約在 1989 年被發現，為研究 紐結 提供了一種全新的視角。有限型（又稱 Vassiliev）紐結不變數 的概念由 V. Vassiliev 和 M. Goussarov 大約在 1989 年獨立發明。Vassiliev 的方法基於對從一個 流形 到另一個流形的 平滑對映 的（無限維）空間中的判別式的研究。根據定義，判別式由所有具有 奇點 的對映組成。

例如，考慮從圓到三維空間的所有平滑對映空間 。如果 是一個 嵌入（即，沒有奇點），那麼它代表一個紐結。所有紐結集合的補集是判別式 。它由所有從 到 的平滑對映組成，這些對映具有奇點，區域性奇點，其中 ，或非區域性奇點，其中 不是單射的。兩個紐結等價 當且僅當 它們可以透過空間 中不與判別式 相交 的路徑連線。因此，紐結型別與補集 的連通分量一一對應，而值在 阿貝爾群 中的 紐結不變數 無非是來自 的 上同調類。過濾 透過對應於具有給定數量 普通雙重點 的 奇異紐結 的子空間產生一個 譜序列，其中特別包含有限型不變數的空間。

Birman 和 Lin (1993) 為簡化 Vassiliev 的原始技術做出了重大貢獻。特別是，他們解釋了 瓊斯多項式 和有限型不變數之間的關係（Peterson 1992，Birman 和 Lin 1993，Bar-Natan 1995），並強調了 弦圖 代數的作用。事實上，將 冪級數 的 冪級數 代入 瓊斯多項式 中的變數，得到一個 冪級數，其 係數 是 Vassiliev 不變數 (Birman and Lin 1993)。Kontsevich (1993) 在 Kontsevich 積分 的幫助下證明了關於 Vassiliev 不變數的第一個難題。Bar-Natan 對 Vassiliev 不變數進行了深入研究；特別是，他展示了 Feynman 圖和具有單價和三價頂點的圖的代數的重要性 (Bar-Natan 1995)。Bar-Natan (1995) 仍然是該主題最權威的來源。

用簡單術語表達，Vassiliev 的基本思想是研究 紐結不變數 到 奇異紐結 的延拓——浸入 ，其具有有限數量的 普通雙重點。令 表示具有 個雙重點且沒有其他奇點的 奇異紐結 的 等價類 的集合。以下定義基於一個遞迴，該遞迴允許將 紐結不變數 從 擴充套件到 ，然後到 ，等等，最終擴充套件到整個 。給定一個紐結不變數 ，其 Vassiliev 延拓 由以下規則定義

1. ，以及

2. Vassiliev 的骨架關係，如下所示。

Vassiliev 的骨架關係的右側指的是雙重點的兩種分解——正和負。一個關鍵的觀察是，它們中的每一個都是明確定義的（不依賴於用於表達此關係平面投影）。一個 紐結不變數 被稱為階數 的 Vassiliev 不變數，如果其延拓 在所有具有超過 個雙重點的紐結上消失。例如，最簡單的非平凡 Vassiliev 不變數 具有以下明確的描述。設 為給定紐結 的任意 紐結圖， 為 上的任意一個不同於所有交叉點的指定點。那麼

其中，求和遍佈所有交叉點對 ，使得 (1) 在從點 開始沿正方向完整旋轉圖表一週期間，點 和 以 的順序遇到，並且 (2) 透過這些交叉點的四個對應通道分別是下穿、上跨、上跨和下穿。數字 ， 代表點 和 的區域性 纏繞數，根據上述圖示定義。

結果表明，康威多項式 的第 個係數是 階 Vassiliev 不變數，特別是，第二個係數與 一致。

Vassiliev 不變數至少與所有已知的多項式紐結不變數一樣強大：亞歷山大多項式、瓊斯多項式、考夫曼多項式 和 HOMFLY 多項式。這意味著如果兩個紐結 和 可以透過這樣的多項式區分，那麼就存在一個 Vassiliev 不變數，它對 和 取不同的值。

所有 -值 Vassiliev 不變數的集合 形成一個有理數上的 向量空間，具有遞增的 過濾 。相關的 分級空間 具有 Hopf 代數 的結構，可以解釋為 弦圖 的代數。

給定度數 的獨立 Vassiliev 不變數的數量（即 的維度）對於 到 12 是已知的（Kneissler 1997），並在下表中總結 (A007473)。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	1	1	2	3	6	10	19	33	60	104	184	316	548

所有 Vassiliev 不變數的全體等價於透過 Kontsevich 積分 定義的一個 通用 Vassiliev 不變數。

關於 Vassiliev 不變數的兩個最重要的問題在 1990 年被提出，至今仍未得到解答。

1. Vassiliev 不變數是否能區分紐結？換句話說，給定兩個不等價的紐結 和 ，是否總是可以指出一個有限型不變數 ，使得 ？

2. Vassiliev 不變數是否可以檢測紐結方向？更具體地說，是否存在一個紐結 和一個有限型不變數 ，使得 ，其中 與 的區別在於引數化更改，從而反轉了方向？