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Kontsevich 積分

Kontsevich 積分是 Gauss 積分 對 環繞數 的深遠推廣，併為構造 結的通用 Vassiliev 不變數 提供了一種工具。實際上，任何 Vassiliev 結不變數 都可以從中推匯出來。

為了構造 Kontsevich 積分，將三維空間 R^3 表示為復直線 C (座標為 z) 和實直線 R (座標為 t) 的 直積。積分是為 Morse 結 定義的，即以某種方式嵌入到 R^3=C_z×R_t 中的結 K，使得座標 t 是 K 上的 Morse 函式，並且其值屬於 弦圖代數 A 的 分次完備化 h^_calA。

結 K 的 Kontsevich 積分 Z(K) 定義為

Z(K)=sum_(m=0)^infty1/((2pii)^m)int_(t_(min)<t_1<...<t_m<t_(max); t_j are noncritical)sum_(P={(z_j,z_j^')})(-1)^vD_P ^ _(j=1)^m(dz_j-dz_j^')/(z_j-z_j^'),
(1)

其中，此公式的組成部分具有以下含義。實數 t_(min) 和 t_(max) 是函式 t 在 K 上的最小值和最大值。

KontsevichIntegral

積分域是 m 維單形 t_(min)<t_1<...<t_m<t_(max)，它被臨界值劃分為一定數量的連通分量。例如，對於單結和 m=2 (左圖) 的嵌入，相應的積分域有六個連通分量，如上右圖所示。

被積函式中加項的數量在積分域的每個連通分量中是常數，但在不同分量中可能不同。在每個平面 {t=t_j} subset R^3 中，在 K 上選擇一對無序的不同點 (z_j,t_j) 和 (z_j^',t_j)，使得 z_j(t_j) 和 z_j^'(t_j) 是連續函式。用 P={(z_j,z_j^')} 表示 j=1, ..., m 的此類點對的集合，那麼被積函式是所有 P 選擇的求和。在上面的例子中，對於分量 {t_(min)<t_1<t_(c_1),t_(c_2)<t_2<t_(max)}，我們在水平面 {t=t_1} 和 {t=t_2} 上只有一對可能的點。因此，此分量的 P 求和僅包含一個加項。相反，在分量 {t_(min)<t_1<t_(c_1),t_(c_1)<t_2<t_(c_2)} 中，對於水平面 {t=t_1}，我們仍然只有一個可能性，但是平面 {t=t_2} 與我們的結 K 相交於四個點。因此，我們有 (4; 2)=6 對可能的點對 (z_2,z_2^')，並且加項的總數為六個（見下圖）。

對於配對 P，符號 'v' 表示 (z_j,t_j) 或 (z_j^',t_j) 在 P 中座標 t 沿 結 K 的方向減小的點的數量。

KontsevichChordDiagram

固定一個配對 P，將結 K 視為一個有向圓，並透過弦連線點 (z_j,t_j) 和 (z_j^',t_j) 以獲得具有 m 條弦的弦圖。代數 A 的對應元素表示為 D_P。在上圖中，顯示了每個連通分量的一個可能的配對，帶有符號 (-1)^v 的相應弦圖，以及被積函式的加項數量（其中一些由於 單項關係 在 A 中等於零）。

在每個連通分量上，z_j 和 z_j^' 是 t_j 的 光滑函式。用 ^ _(j=1)^m(dz_j-dz_j^')/(z_j-z_j^') 我們指的是將此形式 拉回 到變數 t_1, ..., t_m 的積分域。積分域被認為具有空間 R^m 的 流形定向，該定向由座標 t_1, ..., t_m 的自然順序定義。

按照慣例，Kontsevich 積分中對應於 m=0 的項是係數為一的 0 階（唯一）弦圖。它表示代數 A 的單位。

由於 單項關係，Kontsevich 積分是收斂的。在 Morse 結類中，它在結的形變下是不變的。不幸的是，Kontsevich 積分在改變函式 t 的臨界點數量的形變下不是不變的。但是，該公式顯示了積分在這種形變下如何變化

KontsevichDeformation

在上面的公式中，Z 的圖形引數表示任意結的兩個嵌入，僅在圖示片段中有所不同，

KontsevichHump

H 是駝峰 (即，以指定方式嵌入到 R^3 中的 單結；如上圖所示)，並且該乘積是 弦圖 的完備代數 h^_calA 中的乘積。最後一個等式允許透過公式定義通用 Vassiliev 不變數

I(K)=(Z(K))/(Z(H)^(c/2)),
(2)

其中 c 表示 K 的臨界點數量，而 quotient 表示根據規則 (1+a)^(-1)=1-a+a^2-a^3+... 在代數 h^_calA 中的除法。通用 Vassiliev 不變數 I(K) 在 K 的任意形變下是不變的。

考慮在具有 m 條弦的弦圖集合上滿足單項和四項關係（權系統）的函式 w。將此函式應用於通用 Vassiliev 不變數 w(I(K))，我們得到一個數值結不變數。此不變數將是 m 階的 Vassiliev 不變數，並且任何 Vassiliev 不變數都可以透過這種方式獲得。

Kontsevich 積分在結的自然運算（例如映象反射、改變結的方向和結的突變）方面表現良好。在適當的歸一化中，它在結的 連通和 下是可乘的

I^'(K_1#K_2)=I^'(K_1)I^'(K_2),
(3)

其中 I^'(K)=Z(H)I(K)。對於任何結 K，Z(K) 在由弦圖組成的任意基下的展開式中的係數是有理數 (Kontsevich 1993, Le 和 Murakami 1996)。

計算 Kontsevich 積分的任務非常困難。通用 Vassiliev 不變數 I(K) 的顯式表示式目前僅對單結已知，

I(O)=exp(sum_(n=0)^(infty)b_(2n)w_(2n))
(4)
=1+(sum_(n=0)^(infty)b_(2n)w_(2n))+1/2(sum_(n=0)^(infty)b_(2n)w_(2n))^2+....
(5)

(Bar-Natan 等人 1995)。這裡，b_(2n) 是修正的伯努利數，即 泰勒級數 的係數

sum_(n=0)^inftyb_(2n)x^(2n)=1/2ln((e^(x/2)-e^(-x/2))/(1/2x))
(6)

(b_2=1/48, b_4=-1/5760, ...; OEIS A057868)，w_(2n) 是輪子，即形式的圖

KontsevichWheels

線性組合被理解為 漢字代數 B 的一個元素，它與 弦圖代數 A 同構。用弦圖表示，這個系列的開頭如下所示

KontsevichSeries

Kontsevich 積分由 Kontsevich (1993) 發明，詳細的闡述可以在 Arnol'd (1994)、Bar-Natan (1995) 以及 Chmutov 和 Duzhin (2000) 中找到。

另請參閱

弦圖, Gauss 積分, Morse 結, Vassiliev 不變數

此條目由 Sergei Duzhin 貢獻

此條目由 Sergei Chmutov 貢獻

使用 探索

參考文獻

Arnol'd, V. I. "Vassiliev 判別式和紐結理論。" 收錄於 第一屆歐洲數學大會，第 1 卷（巴黎，1992 年） (A. Joseph, F. Mignot, F. Murat, B. Prum 和 R. Rentschler 編輯)。瑞士巴塞爾：Birkhäuser，第 3-29 頁，1994 年。Bar-Natan, D. "關於 Vassiliev 紐結不變數。" Topology 34, 423-472, 1995.Bar-Natan, D.; Garoufalidis, S.; Rozansky, L.; 和 Thurston, D. "單結的輪子、輪轉和 Kontsevich 積分。" Israel J. Math. 119, 217-237, 2000.Chmutov, S. V. 和 Duzhin, S. V. "Kontsevich 積分。" Acta Appl. Math. 66, 155-190, 2000.Kontsevich, M. "Vassiliev 紐結不變數。" Adv. Soviet Math. 16, 第 2 部分，137-150, 1993.Le, T. Q. T. 和 Murakami, J. "框架有向鏈環的通用 Vassiliev-Kontsevich 不變數。" Compos. Math. 102, 42-64, 1996.Sloane, N. J. A. 整數序列線上百科全書中的序列 A057868。"Vassiliev, V. A. "紐結空間的上同調。" 收錄於 奇點理論及其應用 (V. I. Arnold 編輯)。Adv. Soviet Math. 1, 23-69, 1990.

在 上引用

Kontsevich 積分

請引用為

Chmutov, Sergei 和 Duzhin, Sergei。"Kontsevich 積分。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。https://mathworld.tw/KontsevichIntegral.html

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