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維拉爾索圓

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透過P 在環面上的任意點可以繪製四個圓。前兩個圓是顯而易見的：一個是位於環面的平面內，第二個與它垂直。第三個和第四個圓（相對於環面傾斜）則更加出乎意料，被稱為維拉爾索圓（Villarceau 1848, Schmidt 1950, Coxeter 1969, Melzak 1983）。

為了理解為什麼存在另外兩個圓，考慮一個座標系，原點位於環面的中心，z^^ 指向上方。透過其角度 phi 來指定 P 的位置，phi 是繞環面管的測量角度。將 phi=0 定義為距離環面中心最遠的點的圓（即，x^2+y^2=R^2 的點），並將 x軸 繪製為穿過 z軸 並經過 P 的平面與 xy 平面的交線。繞 y軸 旋轉一個 角度 theta，其中

theta=sin^(-1)(a/c).
(1)

用舊座標表示，新座標為

x=x_1costheta-z_1sintheta
(2)
z=x_1sintheta+z_1costheta.
(3)

所以在 (x_1,y_1,z_1) 座標系中，環面的方程 (◇) 變為

[sqrt((x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2)-c]^2+(x_1sintheta+z_1costheta)^2=a^2.
(4)

展開左側得到

(x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2+c^2 -2csqrt((x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2)+(x_1sintheta+z_1costheta)^2=a^2.
(5)

但是

(x_1costheta-z_1sintheta)^2+(x_1sintheta+z_1costheta)^2=x_1^2+z_1^2,
(6)

所以

x_1^2+y_1^2+z_1^2+c^2-2csqrt((x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2)=a^2.
(7)

在 z_1=0 平面中，代入 (◇) 並因式分解得到

[x_1^2+(y_1-a)^2-c^2][x_1^2+(y_1+a)^2-c^2]=0.
(8)

這給出了圓

x_1^2+(y_1-a)^2=c^2
(9)

和

x_1^2+(y_1+a)^2=c^2
(10)

在 z_1 平面中。以 矩陣 形式，引數為 t in [0,2pi)，這些是

C_1=[ccost; csint+a; 0]
(11)
C_2=[ccost; csint-a; 0].
(12)

在原始 (x,y,z) 座標系中，

C_1=[costheta 0 -sintheta; 0 1 0; -sintheta 0 costheta][ccost; csint+a; 0]
(13)
=[ccosthetacost; csint+a; -csinthetacost]
(14)
C_2=[costheta 0 sintheta; 0 1 0; -sintheta 0 costheta][ccost; csint-a; 0]
(15)
=[ccosthetacost; csint-a; -csinthetacost].
(16)

點 P 必須滿足

z=asinphi=csinthetacost,
(17)

所以

cost=(asinphi)/(csintheta).
(18)

代入 x_1 和 y_1 得到 角度 psi，圓 必須繞 z軸 旋轉該角度才能使其透過 P，

psi=tan^(-1)(y/x)=(csint+a)/(ccosthetacost)=(csqrt(1-cos^2t)+a)/(ccosthetacost).
(19)

因此，透過 P 的四個圓是

C_1=[cospsi sinpsi 0; -sinpsi cospsi 0; 0 0 1][ccosthetacost; csint+a; -csinthetacost]
(20)
C_2=[cospsi sinpsi 0; -sinpsi cospsi 0; 0 0 1][ccosthetacost; csint-a; -csinthetacost]
(21)
C_3=[(c+acosphi)cost; (c+acosphi)sint; asinphi]
(22)
C_4=[c+acost; 0; asint].
(23)

參見

環面

使用 探索

參考文獻

Coxeter, H. S. M. 幾何學導論，第 2 版 紐約：Wiley，pp. 132-133, 1969.Kabai, S. 數學圖形 I：使用 Mathematica 的計算機圖形課程。 匈牙利普什珀克拉達尼：Uniconstant, p. 125, 2002.Melzak, Z. A. 幾何學導引。 紐約：Wiley，pp. 63-72, 1983.Schmidt, H. 反演及其應用。 德國慕尼黑：Oldenbourg, 1950.Villarceau, M. "關於環面的定理。" Nouv. Ann. Math. 7, 345-347, 1848.

在 中引用

維拉爾索圓

引用為

Weisstein, Eric W. "維拉爾索圓。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/VillarceauCircles.html

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