雅可比虛數變換

雅可比虛數變換將橢圓函式與同類型但具有不同自變數的其他橢圓函式相關聯。對於雅可比橢圓函式 , , 和 , 這些變換是

			(1)
			(2)
			(3)

其中 是橢圓模量，而 是互補模量 (Abramowitz and Stegun 1972; Whittaker and Watson 1990, p. 505)。

對於雅可比 theta 函式，雅可比虛數變換給出

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

其中

(8)

並且 被解釋為滿足 (Whittaker and Watson 1990, p. 475)。

方程 (6) 可以寫成泛函方程

(9)

其中 和 是半週期比率 (Davenport 1980, p. 62)。這種形式對於計算小 的 非常有用，因為那時 的級數比 的級數收斂得更快。在 1859 年的論文中，黎曼在他的黎曼 zeta 函式泛函方程的證明之一中使用了 theta 函式的這個泛函方程 (Davenport 1980)。

這些變換最初由雅可比 (1828) 獲得，但泊松 (1827) 先前獲得了一個等效於四個公式之一的公式，並且從中另外三個公式可以從初等代數中得出 (Whittaker and Watson 1990, p. 475)。