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q-乘積

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將 nome 定義為

q=e^(-piK^'(k)/K(k))=e^(ipitau),
(1)

其中 K(k) 是 第一類完全橢圓積分，模數 為 k，K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)) 是互補的 第一類完全橢圓積分，且 tau 是 半週期比率。然後，Q-乘積（有時使用小寫 q 而不是大寫 Q 來書寫）定義為

Q_0(q)=product_(n=1)^(infty)(1-q^(2n))
(2)
=(q^2;q^2)_infty
(3)
Q_1(q)=product_(n=1)^(infty)(1+q^(2n))
(4)
=1/2(-1;q^2)_infty
(5)
Q_2(q)=product_(n=1)^(infty)(1+q^(2n-1))
(6)
=q/(q+1)(-q^(-1);q^2)_infty
(7)
Q_3(q)=product_(n=1)^(infty)(1-q^(2n-1))
(8)
=q/(q-1)(q^(-1);q^2)_infty.
(9)

Zucker (1990) 將這些寫為 w=Q_0、x=Q_1、y=Q_2 和 z=Q_3。

Q-乘積也滿足以下恆等式

Q_0(q)Q_1(q)=Q_0(q^2)
(10)
Q_0(q)Q_3(q)=Q_0(q^(1/2))
(11)
Q_2(q)Q_3(q)=Q_3(q^2)
(12)
Q_1(q)Q_2(q)=Q_1(q^(1/2)).
(13)

另請參閱

Dedekind Eta 函式，q-Pochhammer 符號，q-級數恆等式

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 55 和 63-85, 1987.Tannery, J. 和 Molk, J. Elements de la Théorie des Fonctions Elliptiques, 4 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1893-1902.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 469-473 和 488-489, 1990.Zucker, J. "Further Relations Amongst Infinite Series and Products. II. The Evaluation of Three-Dimensional Lattice Sums." J. Phys. A: Math. Gen. 23, 117-132, 1990.

在 中被引用

q-乘積

引用為

Weisstein, Eric W. "q-乘積。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/q-Product.html

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