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泊松求和公式

泊松求和公式是一般結果的特例

sum_(-infty)^inftyf(x+n)=sum_(k=-infty)^inftye^(2piikx)int_(-infty)^inftyf(x^')e^(-2piikx^')dx^'
(1)

與 x=0, 得到

sum_(-infty)^inftyf(n)=sum_(k=-infty)^inftyint_(-infty)^inftyf(x^')e^(-2piikx^')dx^'.
(2)

給定 phi 一個非負、連續、遞減且黎曼可積的函式，定義在 [0,infty), 定義

psi(x)=sqrt(2/pi)int_0^inftyphi(t)cos(xt)dt.
(3)

那麼泊松求和公式指出

sqrt(alpha)[1/2phi(0)+sum_(n=1)^inftyphi(nalpha)]=sqrt(beta)[1/2psi(0)+sum_(n=1)^inftypsi(nbeta)]
(4)

當 alphabeta=2pi (Hardy 1999, p. 14)。 這個公式表明

sqrt(alpha)[1/2+sum_(n=1)^inftye^(-alpha^2n^2/2)]=sqrt(beta)[1/2+sum_(n=1)^inftye^(-beta^2n^2/2)]
(5)

(Apostol 1974, pp. 322-333; Borwein and Borwein 1987, pp. 36-40)。

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參考文獻

Apostol, T. M. Mathematical Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley, 1974.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "Poisson Summation." §2.2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 466-467, 1953.

在 中被引用

泊松求和公式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Poisson Sum Formula." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PoissonSumFormula.html

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