向量拉普拉斯運算元

向量拉普拉斯運算元可以為向量定義為

(1)

其中，符號有時用於區分向量拉普拉斯運算元和標量拉普拉斯運算元 (Moon and Spencer 1988, p. 3)。在張量表示法中，被寫作，恆等式變為

			(2)
			(3)
			(4)

張量拉普拉斯運算元可以類似地定義。

在柱座標系中，向量拉普拉斯運算元由下式給出

del ^2v=[(partial^2v_r)/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_r)/(partialphi^2)+(partial^2v_r)/(partialz^2)+1/r(partialv_r)/(partialr)-2/(r^2)(partialv_phi)/(partialphi)-(v_r)/(r^2); (partial^2v_phi)/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_phi)/(partialphi^2)+(partial^2v_phi)/(partialz^2)+1/r(partialv_phi)/(partialr)+2/(r^2)(partialv_r)/(partialphi)-(v_phi)/(r^2); (partial^2v_z)/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_z)/(partialphi^2)+(partial^2v_z)/(partialz^2)+1/r(partialv_z)/(partialr)].

(5)

在球座標系中，向量拉普拉斯運算元是

del ^2v=[1/r(partial^2(rv_r))/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_r)/(partialtheta^2)+1/(r^2sin^2theta)(partial^2v_r)/(partialphi^2)+(cottheta)/(r^2)(partialv_r)/(partialtheta)-2/(r^2)(partialv_theta)/(partialtheta)-2/(r^2sintheta)(partialv_phi)/(partialphi)-(2v_r)/(r^2)-(2cottheta)/(r^2)v_theta ; 1/r(partial^2(rv_theta))/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_theta)/(partialtheta^2)+1/(r^2sin^2theta)(partial^2v_theta)/(partialphi^2)+(cottheta)/(r^2)(partialv_theta)/(partialtheta)-2/(r^2)(cottheta)/(sintheta)(partialv_phi)/(partialphi)+2/(r^2)(partialv_r)/(partialtheta)-(v_theta)/(r^2sin^2theta) ; 1/r(partial^2(rv_phi))/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_phi)/(partialtheta^2)+1/(r^2sin^2theta)(partial^2v_phi)/(partialphi^2)+(cottheta)/(r^2)(partialv_phi)/(partialtheta)+2/(r^2sintheta)(partialv_r)/(partialphi)+(2cottheta)/(r^2sintheta)(partialv_theta)/(partialphi)-(v_phi)/(r^2sin^2theta) ].

(6)

另請參閱

導數, 拉普拉斯運算元, 張量拉普拉斯運算元, 向量導數, 向量泊松方程

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Moon, P. and Spencer, D. E. "向量拉普拉斯運算元的意義。" J. Franklin Inst. 256, 551-558, 1953.Moon, P. and Spencer, D. E. 場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第二版 New York: Springer-Verlag, 1988.

在中被引用

向量拉普拉斯運算元

請引用為

Weisstein, Eric W. "向量拉普拉斯運算元。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/VectorLaplacian.html

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