線積分

一個向量場 在曲線 上的線積分定義為

(1)

其中 表示 點積。 在笛卡爾座標系中，線積分可以寫成

(2)

其中

(3)

對於 複數 和 在由 引數化的 複平面 中的路徑，

(4)

龐加萊定理指出，如果 在點 的單連通鄰域 中，則在這個鄰域中， 是一個標量場 的梯度，

(5)

對於 ，其中 是梯度運算元。 因此，梯度定理給出

(6)

對於完全位於 內，從 開始到 結束的任何路徑 。

這意味著如果 （即， 在某個區域中是無旋場），那麼線積分在這個區域中是路徑無關的。 如果需要，因此可以在起點和終點之間選擇笛卡爾路徑以給出

(7)

如果 （即， 是一個無散度場，又名螺線場），那麼存在一個向量場 使得

(8)

其中 在梯度場範圍內是唯一確定的（並且可以選擇使得 ）。