保守場

對於在特定域 上的保守 向量場，以下條件是等價的：

1. 對於任何有向簡單閉曲線 ，線積分 。

2. 對於任何兩條具有相同端點的有向簡單曲線 和 ，。

3. 存在一個標量 勢函式 ，使得 ，其中 是梯度。

4. 如果 是單連通的，則 旋度 。

域 通常被假定為整個二維平面或三維空間。然而，也存在一些場，它們在兩個有限域 和 中是保守的，但在它們的並集 中不是保守的。

請注意，條件 1、2 和 3 對於在任何開集 中定義的任何 向量場 都是等價的，前提是曲線 、 和 包含在 中，並且 在 的每個點都成立。

一般來說，條件 4 並不等價於條件 1、2 和 3（並且已知反例，其中 4 並不意味著其他條件，反之亦然），儘管如果 的分量的第一導數是連續的，那麼這些條件確實意味著 4。為了使條件 4 意味著其他條件， 必須是單連通的。