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傅立葉矩陣

這個 n×n 方陣 F_n，其條目由下式給出

F_(jk)=e^(2piijk/n)=omega^(jk)
(1)

對於 j,k=0, 1, 2, ..., n-1，其中 i 是 虛數 i=sqrt(-1)，並透過 1/sqrt(n) 歸一化使其成為 酉矩陣。傅立葉矩陣 F_2 由下式給出

F_2=1/(sqrt(2))[1 1; 1 i^2],
(2)

以及 F_4 矩陣由下式給出

F_4=1/(sqrt(4))[1 1 1 1; 1 i i^2 i^3; 1 i^2 i^4 i^6; 1 i^3 i^6 i^9]
(3)
=1/2[1 1 ; 1 i; 1 -1 ; 1 -i][1 1 ; 1 i^2 ; 1 1; 1 i^2][1 ; 1 ; 1 ; 1].
(4)

一般來說，

F_(2n)=[I_n D_n; I_n -D_n][F_n ; F_n][ even-odd ; shuffle ],
(5)

使用

[F_n ; F_n]=[I_(n/2) D_(n/2) ; I_(n/2) -D_(n/2) ; I_(n/2) D_(n/2); I_(n/2) -D_(n/2)] ×[F_(n/2) ; F_(n/2) ; F_(n/2) ; F_(n/2)][even-odd; 0,2 (mod 4); even-odd; 1,3 (mod 4)],
(6)

其中 I_n 是 n×n 單位矩陣，而 D_n 是 對角矩陣，其條目為 1, omega, ..., omega^(n-1)。請注意，因式分解（這是 快速傅立葉變換 的基礎）在中心因子 矩陣 中包含兩個 F_2 的副本。

另請參閱

快速傅立葉變換, 傅立葉變換

使用 探索

參考文獻

Strang, G. "小波變換與傅立葉變換。" Bull. Amer. Math. Soc. 28, 288-305, 1993.

在 上被引用

傅立葉矩陣

引用為

Weisstein, Eric W. "傅立葉矩陣。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/FourierMatrix.html

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