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交替符號矩陣

交替符號矩陣是一個由 0, 1 和 -1 組成的矩陣，其中每行或每列的元素之和為 1，並且每行和每列的非零元素在符號上交替。下面顯示了 n=1, 2, ... 的前幾個矩陣

A_1=[1]
(1)
A_2=[1 0; 0 1],[0 1; 1 0]
(2)
A_3=[ 0 0 1; 0 1 0; 1 0 0],[ 0 0 1; 1 0 0; 0 1 0],[ 0 1 0; 0 0 1; 1 0 0],[ 0 1 0; 1 -1 1; 0 1 0],
(3)
[ 0 1 0; 1 0 0; 0 0 1],[ 1 0 0; 0 0 1; 0 1 0],[ 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
(4)

這樣的矩陣還滿足額外的性質，即每行或每列中的 -1 必須在其“外部”有一個 +1（即，所有 -1 都被 +1“包圍”）。n×n 交替符號矩陣 A_n 對於 n=1, 2, ... 的數量由 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, ... 給出 (OEIS A005130)。

關於 A_n 的數量 A_n 可以由以下公式顯式給出的猜想

A_n=product_(j=0)^(n-1)((3j+1)!)/((n+j)!),
(5)

現在已被證明為真，被稱為 交替符號矩陣猜想。A_n 可以用 Barnes G-函式 的複雜函式以閉合形式表示，但可能可以進一步簡化。

A_n 的遞推關係由下式給出

A_n=A_(n-1)(Gamma(n)Gamma(3n-1))/(Gamma(2n)Gamma(2n-1)),
(6)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式。

令 A(n,k) 為在頂行中第 k 個位置出現 1 的 n×n 交替符號矩陣的數量。那麼

A_n=sum_(k=1)^nA(n,k).
(7)

結果是

(A(n,k+1))/(A(n,k))=((n-k)(n+k-1))/(k(2n-k-1))
(8)

對於 0<k<n 意味著 (7) (Mills et al. 1983)。

製作一個三角形陣列，其中包含在列 k 頂部為 1 的 A_n^' 的數量，得到

1 1 1 2 3 2 7 14 14 7 42 105 135 105 42
(9)

(OEIS A048601)，並且取相鄰項的比率得到陣列

2/2 2/3 3/2 2/4 5/5 4/2 2/5 7/9 9/7 5/2
(10)

(OEIS A029656 和 A029638)。這些分子和分母分別是 (2, 1)- 和 (1, 2)-帕斯卡三角形中不同於 1 的數字，這一事實被稱為 精細交替符號矩陣猜想。

另請參閱

交替符號矩陣猜想, 凝結, 降序平面劃分, 整數矩陣, 置換矩陣

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參考文獻

Andrews, G. E. "Plane Partitions (III): The Weak Macdonald Conjecture." Invent. Math. 53, 193-225, 1979.Bressoud, D. Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Bressoud, D. and Propp, J. "How the Alternating Sign Matrix Conjecture was Solved." Not. Amer. Math. Soc. 46, 637-646.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 第 413頁, 2003.Kuperberg, G. "Another Proof of the Alternating-Sign Matrix Conjecture." Internat. Math. Res. Notes, No. 3, 139-150, 1996.Mills, W. H.; Robbins, D. P.; and Rumsey, H. Jr. "Proof of the Macdonald Conjecture." Invent. Math. 66, 73-87, 1982.Mills, W. H.; Robbins, D. P.; and Rumsey, H. Jr. "Alternating Sign Matrices and Descending Plane Partitions." J. Combin. Th. Ser. A 34, 340-359, 1983.Pickover, C. A. "Princeton Numbers." 第 79章，Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford, England: Oxford University Press, 頁 189-192, 2001.Robbins, D. P. "The Story of 1, 2, 7, 42, 429, 7436, ...." Math. Intell. 13, 12-19, 1991.Robbins, D. P. and Rumsey, H. Jr. "Determinants and Alternating Sign Matrices." Adv. Math. 62, 169-184, 1986.Sloane, N. J. A. Sequences A005130/M1808, A029638, A029656, A048601, and A050204 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stanley, R. P. "A Baker's Dozen of Conjectures Concerning Plane Partitions." In Combinatoire Énumérative. Proceedings of the colloquium held at the Université du Québec, Montreal, May 28-June 1, 1985 (Ed. G. Labelle and P. Leroux). New York: Springer-Verlag, 頁 285-293, 1986.Zeilberger, D. "Proof of the Alternating Sign Matrix Conjecture." Electronic J. Combinatorics 3, No. 2, R13, 1-84, 1996. http://www.combinatorics.org/Volume_3/Abstracts/v3i2r13.html.Zeilberger, D. "Proof of the Refined Alternating Sign Matrix Conjecture." New York J. Math. 2, 59-68, 1996.Zeilberger, D. "A Constant Term Identity Featuring the Ubiquitous (and Mysterious) Andrews-Mills-Robbins-Rumsey numbers 1, 2, 7, 42, 429, ...." J. Combin. Theory A 66, 17-27, 1994.

在 上引用

交替符號矩陣

請引用為

Weisstein, Eric W. “交替符號矩陣。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AlternatingSignMatrix.html

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