Cartan 矩陣

Cartan 矩陣是一個方陣整數矩陣，其元素 滿足以下條件。

1. 是一個整數，是 中的一個。

2. 對角線元素都為 2。

3. 非對角線上。

4. 當且僅當 。

5. 存在一個對角矩陣 使得 給出對稱和正定二次型。

Cartan 矩陣可以與半單李代數 相關聯。它是一個 方陣，其中 是 的李代數秩。李代數單根是基向量，並且 由它們的內積決定，使用 Killing 型。

(1)

實際上，它更像是一個值表，而不是一個矩陣。透過重新排序基向量，可以得到另一個 Cartan 矩陣，但它被認為與原始 Cartan 矩陣等價。

李代數 可以透過 個生成元 重構，直到同構，這些生成元滿足 Chevalley-Serre 關係。實際上，

(2)

其中 是由相同字母的生成元生成的李子代數。

例如，

(3)

是一個 Cartan 矩陣。李代數 有六個生成元 。它們滿足以下關係。

1. .

2. 和 而 。

3. .

4. .

5. 和 。

6. 和 。

從這些關係中，不難看出 與標準的李代數表示

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

此外，Weyl 群可以直接從 Cartan 矩陣構建，其中它的行決定了對單根的反射。