Dynkin 圖

每個 半單李代數 都由其 Dynkin 圖分類。 Dynkin 圖是一個 圖，具有幾種不同型別的可能邊。該圖的 連通分量 對應於 的不可約子代數。因此，單李代數 的 Dynkin 圖只有一個分量。規則是限制性的。事實上，每個分量只有某些可能性，對應於 半單李代數 的分類。

復 李代數 的根在 Cartan 子代數 中的 格 中形成秩 ，其中 是 的 李代數秩。因此，根格 可以被認為是 中的格。Dynkin 圖中的頂點或節點是為每個 李代數單根 繪製的，它對應於 根格 的生成元。在兩個節點 和 之間，如果單根不垂直，則繪製一條邊。如果它們之間的角度為 ，則繪製一條線；如果角度為 ，則繪製兩條線；如果角度為 ，則繪製三條線。李代數單根 之間沒有其他可能的角度。或者，單根 和 之間的線數 由下式給出

其中 是 Cartan 矩陣 中的一個條目。在 Dynkin 圖中，箭頭從較長的根指向較短的根（當角度為 或 時）。

上圖顯示了 的兩個單根，角度為 ，在 根格 中。因此， 的 Dynkin 圖有兩個節點，它們之間有三條線。

以下是可容許 Dynkin 圖的一些屬性。

1. 透過從可容許圖中移除一個節點而獲得的圖是可容許的。

2. 可容許圖沒有環。

3. 沒有節點連線超過三條線。

4. 僅具有兩條單線的節點序列可以摺疊以給出可容許圖。

5. 唯一具有三條線的連通圖有兩個節點。

Coxeter-Dynkin 圖，也稱為 Coxeter 圖，與 Dynkin 圖相同，只是沒有箭頭，儘管有時這些也被稱為 Dynkin 圖。Coxeter 圖足以表徵代數，這可以透過列舉連通圖看出。

從其 Dynkin 圖恢復 單李代數 的最簡單方法是首先重建其 Cartan 矩陣 。第 個節點和第 個節點由 條線連線。由於 當且僅當 時，否則 ，因此很容易從它們的乘積中找到 和 ，直至順序。圖中的箭頭指示哪個更大。例如，如果節點 1 和節點 2 之間有兩條線，從節點 1 到節點 2，則 且 。

然而，值得指出的是，每個 單李代數 都可以被具體地構造出來。例如，無限族 、、 和 分別對應於 特殊線性李代數、 奇正交李代數、 辛李代數 和 偶正交李代數。其他單李代數被稱為 例外李代數，並且具有與 八元數 相關的構造。