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傅立葉變換——反函式

傅立葉變換 廣義函式 1/x 由下式給出

F_x(-PV1/(pix))(k)=-1/piPVint_(-infty)^infty(e^(-2piikx))/xdx
(1)
=PVint_(-infty)^infty(cos(2pikx)-isin(2pikx))/xdx
(2)
={-(2i)/piint_0^infty(sin(2pikx))/xdx for k<0; (2i)/piint_0^infty(sin(2pikx))/xdx for k>0
(3)
={-i for k<0; i for k>0,
(4)

其中 PV 表示 柯西主值。方程 (4) 也可以寫成單個方程

F_x(-PV1/(pix))(k)=i[1-2H(-k)],
(5)

其中 H(x) 是 Heaviside 階躍函式。這些積分源於恆等式

int_0^infty(sin(2pikx))/xdx=int_0^infty(sin(2pikx))/(2pikx)d(2pikx)
(6)
=int_0^inftysinc(z)dz
(7)
=1/2pi.
(8)

另請參閱

傅立葉變換

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請引用為

Weisstein, Eric W. "傅立葉變換——反函式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/FourierTransformInverseFunction.html

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