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尤拉級數變換

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尤拉級數變換是一種有時會加速收斂速度的交替級數的變換。給定一個收斂的交替級數，其和為

S=sum_(k=0)^infty(-1)^ka_k,
(1)

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 16) 將尤拉變換定義為

S=sum_(k=0)^infty((-1)^kDelta^ka_0)/(2^(k+1)),
(2)

其中 Delta 是前向差分算符

Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)
(3)

並且 (k; m) 是一個二項式係數。

Knopp (1990, p. 244) 提出的另一種形式將變換定義為

S=sum_(k=0)^infty(del ^ka_0)/(2^(k+1)),
(4)

其中 del 是後向差分算符

del ^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_m.
(5)

Knopp (1990, p. 263) 給出了應用變換後不同型別收斂行為的例子

sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(2^n)=1/2sum_(n=0)^infty1/(4^n)
(6)

給出更快的收斂速度，

sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(3^n)=1/2sum_(n=0)^infty1/(3^n)
(7)

給出相同的收斂速度，以及

sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(4^n)=1/2sum_(n=0)^infty(3/8)^n
(8)

給出較慢的收斂速度。

為了理解尤拉變換的工作原理，考慮 Knopp 關於差分算符的約定並寫出

S=u_0-u_1+u_2-...
(9)
=1/2u_0+1/2[(u_0-u_1)-(u_1-u_2)+(u_2-u_3)-...].
(10)

現在對括號中的級數重複此過程以獲得

S=1/2u_0+1/4(u_0-u_1)+1/4[(u_0-2u_1+u_2)-(u_1-2u_2+u_3)+(u_2-2u_3+u_4)-...],
(11)

並繼續到無窮大。這證明了推導過程中的每個有限步驟，儘管它實際上並沒有證明最後一步，因為“繼續到無窮大”涉及極限的使用。

參見

交替級數, 級數

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 16, 1972.Knopp, K. 無窮級數的理論與應用。 New York: Dover, 1990.

在 上引用

尤拉級數變換

引用為

Weisstein, Eric W. “尤拉級數變換。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/EulersSeriesTransformation.html

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