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學生 z 分佈

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StudentsZDistribution

學生 z 分佈的機率密度函式由下式給出

f_n(z)=(Gamma(n/2))/(sqrt(pi)Gamma((n-1)/2))(1+z^2)^(-n/2).
(1)

現在定義

d_n(z)=(|z|^(1-n)Gamma(1/2n)_2F_1(1/2(n-1),1/2n;1/2(n+1);-z^(-2)))/(2sqrt(pi)Gamma[1/2(n+1)]),
(2)

則累積分佈函式由下式給出

D_n(z)={d_n(z) for z<=0; 1-d_n(z) for z>=0
(3)

均值為 0，因此 矩為

mu_1=0
(4)
mu_2=1/(n-3)
(5)
mu_3=0
(6)
mu_4=3/((n-3)(n-5)).
(7)

均值、方差、偏度和 超額峰度 為

mu=0
(8)
sigma^2=1/(n-3)
(9)
gamma_1=0
(10)
gamma_2=6/(n-5).
(11)

特徵函式為

phi(t)=(2^((3-n)/2)|t|^((n-1)/2)K_((1-n)/2)(|t|))/(Gamma[1/2(n-1)]),
(12)

其中 K_n(z) 是第二類修正貝塞爾函式。

令

z=(x^_-mu)/s,
(13)

其中 x 是樣本均值，mu 是總體均值，得到 學生 t 分佈。

另請參閱

學生 t 分佈

使用 探索

參考文獻

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. “'Student's' z-Distribution.” §7.11 in Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 174-175, 1951.

在 上引用

學生 z 分佈

請引用為

Weisstein, Eric W. “學生 z 分佈。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Studentsz-Distribution.html

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