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尤拉恆等式

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對於 |z|<1，

product_(k=1)^infty(1+z^k)=product_(k=1)^infty(1-z^(2k-1))^(-1).
(1)

這兩者都有閉式表示

1/2(-1;z)_infty,
(2)

其中 (a;q)_infty 是一個 q-Pochhammer 符號。

展開並對任意一邊在零附近進行級數展開得到

1+z+z^2+2z^3+2z^4+3z^5+4z^6+5z^7+...,
(3)

給出 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, ... (OEIS A000009)，即，將 n 分割成不同部分 Q(n) 的分割數。

另請參閱

尤拉公式, Jacobi 三重積, 分割函式 Q, q-級數

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參考文獻

Bailey, W. N. 廣義超幾何級數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 72, 1935.Franklin, F. "Sur le developpement du produit infini (1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)...。" Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 92, 448-450, 1881.Hardy, G. H. §6.2 in 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的十二次講座，第三版。 New York: Chelsea, pp. 83-85, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. §19.11 in 數論導論，第五版。 Oxford, England: Clarendon Press, 1979.MacMahon, P. A. 組合分析，卷 2。 New York: Chelsea, pp. 21-23, 1960.Nagell, T. 數論導論。 New York: Wiley, p. 55, 1951.Sloane, N. J. A. Sequence A000009/M0281 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

尤拉恆等式

引用為

Weisstein, Eric W. "尤拉恆等式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EulerIdentity.html

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