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劃分函式 Q

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Q(n)，也記為 q(n) (Abramowitz and Stegun 1972, p. 825)，給出將整數 n 寫成正整數之和的方式數，不考慮順序，且要求給定劃分中的所有整數都是不同的。例如，Q(10)=10，因為 10 劃分為不同部分的劃分是 {1,2,3,4}，{2,3,5}，{1,4,5}，{1,3,6}，{4,6}，{1,2,7}，{3,7}，{2,8}，{1,9}，{10}。Q(n) 函式在 Wolfram 語言中實現為PartitionsQ[n]。Q(0) 通常定義為 1。

對於 n=1, 2, ... 的值是 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ... (OEIS A000009)。

Q(n) 的前幾個素數值對應於索引 3, 4, 5, 7, 22, 70, 100, 495, 1247, 2072, 320397, 3335367, 16168775, 37472505, 52940251, 78840125, 81191852, ... (OEIS A035359)，對應的值為 2, 2, 3, 5, 89, 29927, 444793, 602644050950309, ... (OEIS A051005)，直至 n=10^8 沒有其他素數值 (M. Alekseyev, Jul. 10, 2015)。

Q(n) 也是將 n 劃分為奇數部分的方式數，有時記為 p(O,n) (Andrews 1998, p. 237)。

生成函式 對於 Q(n) 是

G(x)=product_(n=1)^(infty)(1+x^n)
(1)
=1/(product_(n=0)^(infty)(1-x^(2n+1)))
(2)
=product_(n=1)^(infty)(1-x^(2n))/(1-x^n)
(3)
=((x^2)_infty)/((x)_infty)
(4)
=(x;x^2)_infty^(-1)
(5)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+3x^5+...,
(6)

其中 (q;a)_infty 和 (q)_infty 是 q-Pochhammer 符號。

這也可以解釋為 雅可比三重積 的另一種形式，用 Q 函式 表示為

Q_1Q_2Q_3=1
(7)

(Borwein and Borwein 1987, p. 64)。

遞推關係 由 Q(0)=Q(1)=1 和

Q(n)=1/nsum_(k=1)^n[s(k)-2s(1/2k)]Q(n-k),
(8)

給出，其中

s(n)={sigma_1(n) for n an integer; 0 otherwise,
(9)

並且

sigma_1(n)=s(n)-2s(1/2n)
(10)

是奇數除數函式，給出 n 的奇數除數之和：1, 1, 4, 1, 6, 4, 8, ... (OEIS A000593；Abramowitz and Stegun 1972, p. 826)。

另一個遞推關係由 Q(0)=1 和

Q(n)=s(n)+2sum_(k=1)^(sqrt(n))(-1)^(k+1)Q(n-k^2),
(11)

給出，其中

s(n)={(-1)^j for n=j(3j+/-1)/2; 0 otherwise
(12)

(E. Georgiadis, A. V. Sutherland, and K. S. Kedlaya; Sloane)。

Q(n) 滿足不等式

Q(n)<=1/2[Q(n+1)+Q(n-1)]
(13)

對於 n>=4。Q(n) 具有漸近級數

Q(n)∼(e^(pisqrt(n/3)))/(4·3^(1/4)n^(3/4))
(14)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 826)。

對於 Q(n) 的類 Rademacher 收斂級數由下式給出

Q(n)=1/2sqrt(2)sum_(k=1)^inftyA_(2k-1)(n){d/(dn^')[J_0((pii)/(2k-1),sqrt(1/3(n^'+1/(24))))]}_(n^'=n),
(15)

給出，其中

A_k(n)=sum_(h=1; (h,k)=1)^ke^(pii[s(h,k)-s(2h,k)])e^(-2piihn/k)
(16)

(P. J. Grabner，私人通訊，Sep. 10, 2003；Hagis 1964ab, 1965)，其中 (h,k)=1 表示 h 和 k 是互質的，

s(h,k)=sum_(r=1)^(k-1)r/k((hr)/k-|_(hr)/k_|-1/2)
(17)

是戴德金和，|_x_| 是向下取整函式，並且 J_0(x) 是零階第一類貝塞爾函式。公式 (16) 糾正了 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 825) 的錯誤陳述，他們錯誤地聲稱與 P(n) 的公式中的類似表示式相同。（15）也可以顯式地寫成

Q(n)=(pi^2sqrt(2))/(24)sum_(k=1)^infty(A_(2k-1)(n))/((1-2k)^2)_0F_1(;2;((1/(24)+n)pi^2)/(12(1-2k)^2)),
(18)

其中 _0F_1(;a;b;z) 是廣義超幾何函式。

設 Q(n,k) 表示將 n 劃分為正好 k 個不同部分的方式數。例如，Q(10,3)=4，因為 10 劃分為三個不同部分的劃分有四種：{1,2,7}，{1,3,6}，{1,4,5}，和 {2,3,5}。Q(n,k) 由下式給出

Q(n,k)=P(n-(k; 2),k),
(19)

其中 P(n,k) 是劃分函式 P，並且 (n; k) 是二項式係數 (Comtet 1974, p. 116)。下表給出了 Q(n,k) 的前幾個值 (OEIS A008289；Comtet 1974, pp. 115-116)。

n\k1234
11
21
311
411
512
6121
7131
8132
9143
101441

另請參見

整數序列素數, 奇數除數函式, 劃分函式 P, 劃分函式 q, 劃分函式 Q 同餘

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/PartitionsQ/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "Partitions into Distinct Parts." §24.2.2 在 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 825-826, 1972.Andrews, G. E. The Theory of Partitions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 7-8, 1998.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 114-115, 1974.Hagis, P. Jr. "Partitions Into Odd and Unequal Parts." Amer. J. Math. 86, 317-324, 1964a.Hagis, P. Jr. "On a Class of Partitions with Distinct Summands." Trans. Amer. Math. Soc. 112, 401-415, 1964b.Hagis, P. Jr. "A Correction of Some Theorems on Partitions." Trans. Amer. Math. Soc. 118, 550, 1965.Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 58, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A000009/M0281, A000593/M3197, A008289, A035359 在 "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" 中。

在 上被引用

劃分函式 Q

請引用為

Weisstein, Eric W. "Partition Function Q." 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/PartitionFunctionQ.html

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