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Alladi-Grinstead 常數

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考慮階乘 n! 分解為乘法因子 p_k^(b_k) 並按非遞減順序排列。例如，

4!=3·2^3
(1)
=2·3·4
(2)
=2·2·2·3
(3)

和

5!=3·5·2^3
(4)
=2·3·2^2·5
(5)
=2·2·2·3·5.
(6)

對於 n=2, 3, ... 這種劃分的數量是 1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, ... (OEIS A085288)。

現在考慮長度為 n 的這種分解的數量。例如，

9!=2·2·2·2·2·2^2·5·7·3^4
(7)
=2·2·2·2·3·5·7·2^3·3^3
(8)
=2·2·2·2·5·7·2^3·3^2·3^2
(9)
=2·2·2·3·2^2·2^2·5·7·3^3
(10)
=2·2·2·2^2·2^2·5·7·3^2·3^2
(11)
=2·2·2·3·3·5·7·3^2·2^4
(12)
=2·2·3·3·2^2·5·7·2^3·3^2
(13)
=2·2·3·3·3·3·5·7·2^5
(14)
=2·3·3·2^2·2^2·2^2·5·7·3^2
(15)
=2·3·3·3·3·2^2·5·7·2^4
(16)
=2·3·3·3·3·5·7·2^3·2^3
(17)
=3·3·3·3·2^2·2^2·5·7·2^3.
(18)

對於 n=2, 3, ... 這種劃分的數量是 0, 0, 1, 1, 2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, ... (OEIS A085289)。

現在令

m(n)=max(p_1^(b_1)),
(19)

即，m(n) 是長度為 n 的因式分解中最小素因子的適當冪。對於 n=4, 5, ..., m(n) 由 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ... 給出 (OEIS A085290)。

最後，定義

alpha(n)=(lnm(n))/(lnn)
(20)

其中 ln(x) 是自然對數。因此，對於情況 n=9, m(9)=3 且

alpha(9)=(ln3)/(ln9)=(ln3)/(2ln3)=1/2.
(21)
Alladi-GrinsteadConstant

對於大的 n, alpha(n) 趨近於一個常數

lim_(n->infty)alpha(n)=e^(c-1)
(22)
=0.80939402054...
(23)

(OEIS A085291)，被稱為 Alladi-Grinstead 常數，其中

c=sum_(k=2)^(infty)1/kln(k/(k-1))
(24)
=0.7885305659115...
(25)

(OEIS A085361)。常數 c 也與所謂的交錯 Lüroth 表示相關聯（Finch 2003, p. 62）。

透過在無窮遠處展開被加數，可以將 c 的級數轉換為具有更好收斂性質的級數，得到

c=sum_(k=2)^(infty)k^(-2)+1/2k^(-3)+1/3k^(-4)+...
(26)
=sum_(k=2)^(infty)sum_(n=1)^(infty)1/(nk^(n+1)).
(27)

交換求和順序得到

c=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=2)^(infty)1/(nk^(n+1))
(28)
=sum_(n=1)^(infty)(zeta(n+1)-1)/n,
(29)

其中 zeta(n) 是黎曼 zeta 函式。

c 也可以表示為積分

c=int_0^1ln|_1/x_|dx.
(30)

另請參閱

階乘

使用 探索

參考文獻

Alladi, K. and Grinstead, C. "關於 n! 分解為素數冪。" J. Number Th. 9, 452-458, 1977.Finch, S. R. "Alladi-Grinstead 常數。" §2.9 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 120-122, 2003.Guy, R. K. "階乘 n 作為 n 大因子的乘積。" §B22 in 數論中未解決的問題，第二版。 New York: Springer-Verlag, p. 79, 1994.Sloane, N. J. A. 序列 A085288, A085289, A085290, A085291, 和 A085361 in "整數序列線上百科全書。"

在 中被引用

Alladi-Grinstead 常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "Alladi-Grinstead 常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Alladi-GrinsteadConstant.html

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