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達林的產品

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超幾何函式恆等式的一個推廣

_2F_1(alpha,beta;gamma;z)_2F_1(1-alpha,1-beta;2-gamma;z) =_2F_1(alpha+1-gamma,beta+1-gamma;2-gamma;z)_2F_1(gamma-alpha,gamma-beta;gamma;z)
(1)

到廣義超幾何函式 _3F_2(a,b,c;d,e;x)。達林的產品是

_3F_2[alpha,beta,gamma;z; delta,epsilon ]_3F_2[1-alpha,1-beta,1-gamma;z; 2-delta,2-epsilon ] =(epsilon-1)/(epsilon-delta)_3F_2[alpha+1-delta,beta+1-delta,gamma+1-delta;z; 2-delta,epsilon+1-delta ]_3F_2[delta-alpha,delta-beta,delta-gamma;z; delta,delta+1-epsilon ] +(delta-1)/(delta-epsilon)_3F_2[alpha+1-epsilon,beta+1-epsilon,gamma+1-epsilon;z; 2-epsilon,delta+1-epsilon ]_3F_2[epsilon-alpha,epsilon-beta,epsilon-gamma;z; epsilon,epsilon+1-delta ]
(2)

和

(1-z)^(alpha+beta+gamma-delta-epsilon)_3F_2[alpha,beta,gamma;z; delta,epsilon ] =(epsilon-1)/(epsilon-delta)_3F_2[delta-alpha,delta-beta,delta-gamma;z; delta,delta+1-epsilon ]_3F_2[epsilon-alpha,epsilon-beta,epsilon-gamma;z; epsilon-1,epsilon+1-delta ] +(delta-1)/(delta-epsilon)_3F_2[epsilon-alpha,epsilon-beta,epsilon-gamma;z; epsilon,epsilon+1-delta ]_3F_2[delta-alpha,delta-beta,delta-gamma;z; delta-1,delta+1-epsilon ],
(3)

當 gamma=epsilon->infty 時，它們簡化為 (◇)。

參見

廣義超幾何函式

使用 探索

參考文獻

Bailey, W. N. "達林乘積定理。" §10.3 載於 廣義超幾何級數。 英國劍橋：劍橋大學出版社，第 88-92 頁，1935 年。

在 上被引用

達林的產品

請引用為

Weisstein, Eric W. "達林的產品。" 出自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/DarlingsProducts.html

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