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託梅定理

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託梅定理，也稱為託梅變換，是廣義超幾何函式恆等式

(Gamma(a))/(Gamma(e)Gamma(f))_3F_2[a,b,c; e,f;1]=(Gamma(s))/(Gamma(s+b)Gamma(s+c))_3F_2[s,e-a,f-a; s+b,s+c;1],
(1)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式， _3F_2(a,b,c;e,f;z) 是一個廣義超幾何函式，

s=e+f-a-b-c,
(2)

並且 R[a],R[s]>0 (Bailey 1935, p. 14)。它是狄克遜定理的推廣 (Slater 1966, p. 52)。

一個等價的表述由下式給出

(Gamma(x+y+s+1))/(Gamma(x+s+1)Gamma(y+s+1))_3F_2(-a,-b,x+y+s+1; x+s+1,y+s+1;1) =(Gamma(a+b+s+1))/(Gamma(a+s+1)Gamma(b+s+1))_3F_2(-x,-y,a+b+s+1; a+s+1,b+s+1;1)
(3)

(Hardy 1999, p. 104)。拉馬努金在他的恆等式證明中使用了這種形式的對稱性，這與託梅定理基本相同。有趣的是，這是拉馬努金對他的命題給出明確證明的少數情況之一 (Hardy 1999, p. 104)。

該定理的一個特例由下式給出

1/a_3F_2[1,a,b; a+1,d]=1/a_3F_2[a,1,b; a+1,d] =(Gamma(a+1)Gamma(d)Gamma(d-b))/(Gamma(a)Gamma(d-b+1)Gamma(d))1/a_3F_2[d-b,1,d-a; d-b+1,d] =1/(d-b)_3F_2[d-b,1,d-a; d-b+1,d] =1/(d-b)_3F_2[1,d-b,d-a; d-b+1,d]
(4)

(J. Sondow，私人通訊，2003 年 5 月 25 日)。

另請參閱

高斯超幾何定理, 廣義超幾何函式

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參考文獻

Bailey, W. N. 廣義超幾何級數。 Cambridge, England: University Press, 1935.Hardy, G. H. "拉馬努金筆記本中的一章。" Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的十二講座，第三版。 New York: Chelsea, pp. 104-105, 1999.Slater, L. J. 廣義超幾何函式。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 52, 1966.Thomae, J. "關於用以下形式的級數表示的函式：1+(pp^'p^(''))/(1qq^(''))+...." J. für Math. 87, 26-73, 1879.

在 中被引用

託梅定理

請引用為

Weisstein, Eric W. "託梅定理。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ThomaesTheorem.html

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