綜合除法是一種用於除兩個多項式的快捷方法，可以用來代替標準的長除法演算法。此方法將被除數和除數多項式簡化為一組數值。在處理這些數值後，得到的數值輸出集用於構建多項式商和多項式餘數。
對於綜合除法的示例，考慮用
除以
。首先，如果
的冪次在任一多項式中缺失，則必須在相應的多項式中的正確位置插入具有該冪次和零係數的項。在這種情況下，被除數中缺少
項，而除數中缺少
項；因此，在被除數的五次項和三次項之間新增
，而在除數的三次項和線性項之間新增
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(1)
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和
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(2)
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分別。
接下來，從被除數中移除所有變數及其指數（
），而是留下僅由其係數組成的列表：
、
、
、
、
和
。此數字序列被放置在類似除法的配置中
變數也以類似的方式從除數中移除，得到序列
、
、
和
。由於除數不是首一多項式，因此必須跟蹤前導係數（在本例中為
）；這樣做之後，除數的前導係數被丟棄，其餘係數的符號被“反轉”，從而留下與除數對應的“修改後的序列”
、
和
。此修改後的序列以及前導係數按如下方式填充到上面顯示的類似除法的配置中
被除數中的第一個數字（在本例中為
）被放入第一個結果區域的第一個位置（即水平線下方的第一行）。此數字是原始被除數多項式中
項的係數
此時，必須識別除數的前導係數；在繼續之前，被除數的第一個數字（
）必須除以此前導係數（
），其結果（
）將記錄到第二個結果區域的第一個位置（即水平線下方的第二行）。此數字是原始被除數中
項的“修改後的係數”，在它被除數的前導係數除之後
現在，此最新結果中的第一個條目（
）乘以來自除數的係數序列的每個元素（
、
和
），其乘積對角放置在下一個被除數項下方，如下所示
隨著演算法的進行，來自被除數的數字系統地新增到執行的乘法的結果中；特別地，當結果乘積元素直接位於水平線上方時，會發生此加法。加法的結果放置在第一個結果行上
此時，該過程基本上重複：第一個結果行中最後落下的數字（在本例中為
）除以除數的前導係數（
）以產生一個數字（此處為
），該數字放置在第二個結果行上
此結果（
）乘以左側除數序列（
、
和
）以產生乘積（
、
和
），這些乘積對角放置在後續被除數項下方
接下來是對後續列（
被除數列，此處由
、
和
組成）進行加法，其結果（在本例中為
）除以除數的前導係數（
）以產生
的結果
最後，該過程重複：
乘以序列
、
、
，以產生序列
、
、
，該序列再次對角放置在相應的被除數項下方
新增後續列（
被除數列，由
、
、
、
組成）產生結果（即
），並且由於任何後續的乘積集合將由比剩餘被除數項更多的數字組成（即
個數字，每個左側序列數字一個），因此不需要額外的乘積。因此，此結果（
）無需除以除數的前導係數（
），因此可以對剩餘的列求和而無需除法。最後一步可以圖示如下
結果是六個數字的列表（來自第二個結果行最左邊的三個數字和來自第一個結果行最右邊的三個數字），即
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(3)
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為了確定這些數字中的哪些成為商多項式的係數，首先確定左側序列中有多少個數字。由於此序列由三個數字組成（即
、
和
），序列（3）的前三個數字（即
、
和
）將是商多項式
的係數，該多項式將是二次的，因為五次多項式除以三次多項式。因此，商多項式具有以下形式
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(4)
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此外，（3）的其餘數字（即
、
和
）對應於餘數多項式
的係數；這裡，
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(5)
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商和餘數可以組合成一個表示式
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(6)
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還要注意，此計算期間執行的唯一除法運算包括將第一個結果行中的條目除以除數的前導係數
，由此得出結論，商（6）是在僅執行三次除法後計算得出的。
不出所料，此過程可以驗證
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(7)
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(8)
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特別地，將商乘以除數並加上餘數，得到原始的被除數多項式，從而證實了結果的有效性。
上面描述的過程可能是單變數多項式綜合除法最一般的情況；因此，有時將其稱為廣義綜合除法、擴充套件綜合除法或廣義擴充套件綜合除法。儘管令人困惑，但除數是任意次數（不超過被除數的次數）的首一多項式的特殊情況有時被稱為擴充套件綜合除法，而最常被稱為無限定詞“綜合除法”的情況由首一線性除陣列成，更正式地稱為魯菲尼法則。
