魯菲尼法則是除以 多項式 的線性因子的快捷方法，形式為 
，可以用來代替標準的長除法演算法。此方法將多項式和線性因子簡化為一組數值。處理這些數值後，得到的數值輸出集用於構建多項式商和多項式餘數。
請注意，魯菲尼法則是一種更廣義的綜合除法概念的特例，其中除數多項式是首一線性多項式。 令人困惑的是，魯菲尼法則有時也被稱為綜合除法，從而導致常見的誤解，即綜合除法的範圍遠小於長除法演算法。
對於魯菲尼法則的示例，請考慮 
除以 
。首先，如果
的冪次項在被除數中缺失，則必須將具有該冪次和零係數的項插入到多項式中的正確位置。在這種情況下，
項在被除數中缺失，因此必須在三次項和線性項之間新增 
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(1)
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接下來，所有變數及其指數（
、
、
）從被除數中移除，僅留下被除數的係數列表：
、
、
和 
。接下來，由於魯菲尼法則只需要線性因子 
的常數項（
），因此除數被修改為單項“序列”
。請注意，如果除數是 
，重寫為 
將導致修改後的除數序列為 
。
表示除數和被除數序列的數字被放置在類似除法的配置中
被除數中的第一個數字（
）被放入結果區域（水平線下方）的第一個位置。這個數字是原始被除數多項式中 
項的係數
然後，結果中的第一個條目（
）乘以除數（
），並將乘積放置在被除數中的下一個項（
）下方
接下來，將被除數中的數字和乘法結果相加，並將總和放在結果行的下一個位置
對於被除數中的其餘數字，此過程將繼續進行
結果是序列 
、
、
、
。除最後一個數字外的所有數字都成為商多項式的係數。由於三次多項式除以線性項，因此商是二次多項式
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(2)
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結果列表中的最後一個條目（即，
）是餘數。商和餘數可以組合成一個表示式
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(3)
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（請注意，沒有執行除法運算來計算此除法問題的答案。）
為了驗證此過程是否有效，可以將商乘以除數，然後加上餘數以獲得原始被除數多項式
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(4)
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(5)
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魯菲尼法則可以與多項式餘數定理結合使用，以評估多項式在實數值處的值。例如，考慮多項式
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(6)
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為了找到 
的值，餘數定理指出，當 
除以 
時，
是餘數。使用魯菲尼法則，可以得到
因此 
。
