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洛梅爾多項式

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洛梅爾多項式 R_(m,nu)(z) 源於以下方程

J_(m+nu)(z)=J_nu(z)R_(m,nu)(z)-J_(nu-1)(z)R_(m-1,nu+1)(z),
(1)

其中 J_nu(z) 是第一類貝塞爾函式，而 nu 是複數（Watson 1966, p. 294）。該函式由下式給出

R_(m,nu)(z)=(Gamma(nu+m))/(Gamma(nu)(z/2)^m)_2F_3(1/2(1-m),-1/2m;nu,-m,1-nu-m;-z^2)
(2)

(Watson 1966, §9.61, p. 297, eqn. 5; Erdelyi et al. 1981, §7.5.2, p. 34, eqn. 25)，其中 _2F_3(a,b;c,d,e;z) 是廣義超幾何函式，而 Gamma(z) 是伽瑪函式，以及

R_(m,nu)(z)=(piz)/(2sin(nupi))[J_(nu+m)(z)J_(-nu+1)(z)+(-1)^mJ_(-nu-m)(z)J_(nu-1)(z)]
(3)

(Watson 1966, §9.61, p. 295, eqn. 2; Erdelyi et al. 1981, §7.5.2, pp. 34-35, eqn. 26)。

由於 (1) 必須簡化為貝塞爾函式的常用遞推公式，因此得出

R_(0,nu)(z)=1
(4)
R_(1,nu)(z)=(2nu)/z.
(5)

另請參閱

洛梅爾微分方程, 洛梅爾函式

使用 探索

參考文獻

Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "Lommel's Polynomials." §7.5.2 in Higher Transcendental Functions, 卷. 2. Krieger, 頁. 34-35, 1981.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, 頁. 1477, 1980.Watson, G. N. §9.6-9.65 in A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 頁. 294-303, 1966.

在 中被引用

洛梅爾多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "洛梅爾多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LommelPolynomial.html

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