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Faber 多項式

設

f(z)=z+a_1+a_2z^(-1)+a_3z^(-2)+...
(1)
=zsum_(n=0)^(infty)a_nz^(-n)
(2)
=zg(1/z)
(3)

為一個 Laurent 多項式，其中 a_0=1。則 Faber 多項式 P_m(f) 在 f(z) 中，次數為 m，定義為：

P_m(f)=z^m+c_(m1)z^(-1)+c_(m2)z^(-2)+...=z^m+G_m(1/z),
(4)

其中

G_m(x)=sum_(n=1)^inftyc_(mn)x^n
(5)

(Schur 1945)。寫作

[g(x)]^m=sum_(k=0)^inftya_(mk)x^l
(6)

對於 m=1, 2, ...，給出關係式

a_(m,m+n)=c_(mn)+a_(m1)c_(m-1,n)+a_(m2)c_(m-2,n) +...+a_(m,m-1)c_(1n).
(7)

連線 a_(mn) 和 c_(mn)。

此多項式可用於計算從點 (r,0) 到點 (a,b) 並保持在直線 y=cx 下方的格路數量。

另請參閱

格路

使用 探索

參考文獻

Gessel, I. M. Ree, S. "Lattice Paths and Faber Polynomials." 在 Advances in Combinatorial Methods and Applications to Probability and Statistics (編 N. Balakrishnan). Boston, MA: Birkhäuser, 1997。Pommerenke, C. "Über die Faberschen Polynome schlichter Funktionen." Math. Z. 85, 197-208, 1964。Schiffer, M. "Faber Polynomials in the Theory of Univalent Functions." Bull. Amer. Math. Soc. 54, 503-517, 1948。Schur, I. "On Faber Polynomials." Amer. J. Math. 67, 33-41, 1945。

在 中被引用

Faber 多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Faber 多項式。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/FaberPolynomial.html

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