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多項式恆等式

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涉及同次冪的和與差的多項式恆等式包括

x^2-y^2=(x-y)(x+y)
(1)
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
(2)
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
(3)
x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
(4)
x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)
(5)
x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)
(6)
x^6-y^6=(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)
(7)
x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4),
(8)

這些是所謂的二項式係數的多項式形式。

更多恆等式包括

(x_1^2-Dy_1^2)(x_2^2-Dy_2^2)=(x_1x_2+Dy_1y_2)^2-D(x_1y_2+x_2y_1)^2
(9)
(x_1^2+Dy_1^2)(x_2^2+Dy_2^2)=(x_1x_2+/-Dy_1y_2)^2+D(x_1y_2∓x_2y_1)^2.
(10)

該恆等式

(X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7)=7(X+Y)(X+Z)(Y+Z)[(X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ)^2+XYZ(X+Y+Z)]
(11)

拉梅在他的證明中使用了該恆等式，以證明費馬最後定理對於 n=7。

另請參閱

二項式係數, 尤拉四平方恆等式, 高斯多項式恆等式, 劉維爾多項式恆等式, 完全立方多項式, 多項式

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請引用為

Weisstein, Eric W. "多項式恆等式。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/PolynomialIdentity.html

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