星形多邊形

星形多邊形 ，其中 是 正整數，是透過用直線連線每隔 個點中的第 個等間距的點形成的圖形，這些點位於 圓周上。數字 被稱為星形多邊形的多邊形密度。不失一般性，取 。星形多邊形最早由托馬斯·布拉德沃丁系統地研究。

星形多邊形 的外接圓半徑，其中 且單位邊長由下式給出

(1)

並且它的特徵多項式是關於 的以下多項式的結式的因子

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其中 是第一類切比雪夫多項式 (Gerbracht 2008)。

通常的定義 (Coxeter 1969) 要求 和 是互質的。然而，當 和 有公約數時，星形多邊形也可以推廣到星形圖形（或“非正規”星形多邊形）。對於這樣的圖形，如果在第一次遍歷後所有點沒有連線，即如果 ，那麼從第一個未連線的點開始並重復該過程。重複直到所有點都連線。對於 ，這個 符號可以分解為

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其中

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得到 個 圖形，每個圖形旋轉了 弧度，或 度。

如果 ，則獲得一個正多邊形 。 的特殊情況包括 （五角星）、（六芒星，或大衛之星）、（拉克希米之星）、（八角星）、（十角星）和 （十二角星）。

疊加所有不同的星形多邊形 對於給定的 會產生美麗的圖案，如上圖所示。這些圖形也可以透過將線纏繞在 個釘子上獲得，這些釘子等距地分佈在圓周上 (Steinhaus 1999, pp. 259-260)。