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西爾維斯特直線問題

西爾維斯特直線問題，以被證明形式的西爾維斯特-蓋萊定理而聞名，指出不可能排列有限數量的點，使得透過其中任意兩點的直線都透過第三點，除非它們都位於同一條直線上。 這個問題由西爾維斯特 (1893) 提出，他要求讀者“證明不可能排列任何有限數量的實點，使得透過其中任意兩點的直線都透過第三點，除非它們都位於同一條直線上。”

Woodall (1893) 發表了一個四行的“解法”，但隨後的評論指出該論證存在兩個漏洞，並概述了另一條研究路線，其特點是“同樣不完整，但可能值得注意”。 然而，當時沒有發表正確的證明（Croft et al. 1991, p. 159），但這個問題被 Erdős (1943) 重新提出，並由 Grünwald (1944) 正確解決。 Coxeter (1948, 1969) 將問題轉化為基本形式，Kelly (Coxeter 1948, 1969; Chvátal 2004) 給出了一個使用歐幾里得距離概念的非常簡短的證明。 該定理也遵循投影對偶性，源於 Melchior (1940) 的一個結果，該結果透過簡單應用尤拉多面體公式（Chvátal 2004）得到證明。

有關該定理的更多資訊，請參見 Borwein 和 Moser (1990)、Erdős 和 Purdy (1991)、Pach 和 Agarwal (1995) 以及 Chvátal (2003)。

2003 年 9 月，X. Chen 證明了 Chvátal 的一個猜想，即線上的某種定義下，西爾維斯特-蓋萊定理可以擴充套件到任意有限度量空間。

另請參閱

共線, de Bruijn-Erdős 定理, 果園種植問題, 西爾維斯特四點問題

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參考文獻

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 17-19, 2003.Borwein, P. and Moser, W. O. J. "A Survey of Sylvester's Problem and Its Generalizations." Aeq. Math. 40, 111-135, 1990.Chen, X. "The Sylvester-Chvátal Theorem." Preprint. Nov. 4, 2003. http://www.cs.rutgers.edu/~chvatal/chen.pdf.Chvátal, V. "Sylvester-Gallai Theorem and Metric Betweenness." Disc. Comput. Geom. 31, 175-195, 2004.Coxeter, H. S. M. "A Problem of Collinear Points." Amer. Math. Monthly 55, 26-28, 1948.Coxeter, H. S. M. §4.7 and 12.3 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, p. 159, 1991.Erdős, P. "Problem 4065: Three Point Collinearity." Amer. Math. Monthly 50, 65, 1943.Erdős, P. and Purdy, G. "Some Extremal Problems in Combinatorial Geometry." In Handbook of Combinatorics, Vol. 1 (Ed. R. L. Graham, M. Grötschel, and L. Lovász). Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 809-874, 1991.Grünwald, T. "Solution to Problem 4065." Amer. Math. Monthly 51, 169-171, 1944.Hansen, S. Contributions to the Sylvester-Gallai Theory. Ph.D. thesis. Copenhagen, Denmark: University of Copenhagen, 1981.Kelly, L. M. and Moser, W. O. J. "On the Number of Ordinary Lines Determined by n Points." Canad. J. Math. 10, 210-219, 1958.Melchior, E. "Über Vielseite der Projektive Ebene." Deutsche Math. 5, 461-475, 1940.Pach, J. and Agarwal, P. K. Combinatorial Geometry. New York: Wiley, 1995.Sylvester, J. J. Educational Times, 46, No. 383, 156, March 1, 1893.Woodall, H. J. Item 11851. Educational Times 46, No. 385, p. 231, May 1, 1893.

在 中被引用

西爾維斯特直線問題

引用為

Weisstein, Eric W. "西爾維斯特直線問題。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/SylvestersLineProblem.html

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